[論文レビュー] Discrete variational principles and Hamilton-Jacobi theory for mechanical systems and optimal control problems

Vincent Guibout, Anthony M. Bloch|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2004

Numerical methods for differential equations参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、接束および余接束上の離散的変分原理の幾何学的枠組みを導入し、力学系および最適制御問題のシンプレクティック積分を可能にするとともに、離散的ハミルトン＝ヤコビ理論と離散的最大原理を確立する。エネルギー誤差が離散的正則変換に関して不変であることを証明し、時間変数を一般化座標として扱うことで、シンプレクティックかつエネルギー保存型のアルゴリズムを導出する。

ABSTRACT

In this paper we present a general framework that allows one to study discretization of certain dynamical systems. This generalizes earlier work on discretization of Lagrangian and Hamiltonian systems on tangent bundles and cotangent bundles respectively. In particular we show how to obtain a large class of discrete algorithms using this geometric approach. We give new geometric insight into the Newmark model for example and we give a direct discrete formulation of the Hamilton-Jacobi method. Moreover we extend these ideas to deriving a discrete version of the maximum principle for smooth optimal control problems. We define discrete variational principles that are the discrete counterpart of known variational principles. For dynamical systems, we introduce principles of critical action on both the tangent bundle and the cotangent bundle. These two principles are equivalent and allow one to recover most of the classical symplectic algorithms. We also identify a class of coordinate transformations that leave the variational principles presented in this paper invariant and develop a discrete Hamilton-Jacobi theory. This theory allows us to show that the energy error in the (symplectic) integration of a dynamical system is invariant under discrete canonical transformations. Finally, for optimal control problems we develop a discrete maximum principle that yields discrete necessary conditions for optimality. These conditions are in agreement with the usual conditions obtained from Pontryagin maximum principle. We illustrate our approach with an example of a sub-Riemannian optimal control.

研究の動機と目的

• 接束および余接束上の変分原理を用いた力学系および最適制御問題の離散化のための統一的幾何学的枠組みの構築。
• 時間変数を一般化座標として扱うことで、シンプレクティック構造およびエネルギー保存性を保つ離散的変分積分法の拡張。
• 離散的正則変換におけるエネルギー誤差の不変性を明らかにする離散的ハミルトン＝ヤコビ理論の確立。
• 古典的ポントレヤーギン最大原理と整合する離散的最適性条件を導出する離散的最大原理の導出。
• 複雑系に対するシンプレクティック・エネルギー保存型積分法およびマルチシンプレクティックアルゴリズムを構築する基盤の提供。

提案手法

• 接束（離散的ハミルトンの原理）および余接束（離散的修正ハミルトンの原理）上での離散的変分原理を定式化し、等価性を保証するとともに、古典的シンプレクティックスキームの回復を実現する。
• 境界条件を伴う時間離散化作用素原理を導入し、物理的制約の強制および最適制御定式化の実現を可能にする。
• 時間変数を一般化座標として扱い、拡張された位相空間に埋め込むことで、エネルギー保存型シンプレクティック積分法の導出を実現する。
• 変分原理を保存する離散的正則変換を定義し、シンプレクティック積分におけるエネルギー誤差の不変性を分析に用いる。
• 離散的拡張コスト関数を構築し、作用の変分を用いて最適性の必要条件を導出し、離散的最適原理を導出する。
• 本枠組みを部分リーマン最適制御問題に適用し、ポントレヤーギンの条件と整合し、得られるアルゴリズムがシンプレクティック性を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的変分原理をどのように一般化すれば、シンプレクティック積分と最適制御を幾何学的枠組みで統一できるか？
• RQ2 時間変数を一般化座標として扱うことで、シンプレクティック積分法におけるエネルギー保存がどのように実現されるか？
• RQ3 離散的ハミルトン＝ヤコビ理論は、離散的正則変換におけるエネルギー誤差の不変性とどのように関係するか？
• RQ4 古典的ポントレヤーギン最大原理と整合し、シンプレクティックアルゴリズムを導く離散的最適原理を導出可能か？
• RQ5 どの種の座標変換が離散的変分原理を保存するか？ また、これにより得られる積分法の構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 接束および余接束上での離散的変分原理は等価であり、生成関数に基づくスキームやルンゲ＝クッタ法に基づく古典的シンプレクティックスキームの多くを回復する。
• 時間変数を一般化座標として扱うことで、本枠組みはシンプレクティックかつエネルギー保存型のアルゴリズムの構築を可能にし、離散系におけるエネルギー保存を保証する。
• シンプレクティック積分におけるエネルギー誤差は、離散的正則変換に関して不変である。これは離散的ハミルトン＝ヤコビ理論を用いて確立された重要な結果である。
• 離散的最適原理は、古典的ポントレヤーギン最大原理と整合する最適性の必要条件を導出し、最適制御問題へのアプローチの妥当性を裏付ける。
• 本枠組みは、非自明な離散化に対してもシンプレクティックアルゴリズムの導出を可能にするが、このような場合、連続系との等価性は保証されない場合がある。
• 本手法は部分リーマン最適制御問題に適用され、得られるアルゴリズムがシンプレクティックかつ最適性の必要条件と整合することを示した。