[論文レビュー] Discretely sampled signals and the rough Hoff path

Guy Flint, Ben Hambly+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、離散的に観測された半マルティンゲールから、過去と未来の増分を組み合わせることで構築される、区分的線形で軸に沿った粗い経路であるホフ過程を導入する。この過程によって駆動される確率的常微分方程式の解の極限としてイト積分が得られることを証明し、ウォング＝ザカイ理論におけるストラトノビッチ積分の極限とは対照的である。また、確率積分の新たな金融解釈可能な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We introduce a canonical method for transforming a discrete sequential data set into an associated rough path made up of lead-lag increments. In particular, by sampling a $d$-dimensional continuous semimartingale $X:[0,1] ightarrow \mathbb{R}^d$ at a set of times $D=(t_i)$, we construct a piecewise linear, axis-directed process $X^D: [0,1] ightarrow\mathbb{R}^{2d}$ comprised of a past and future component. We call such an object the Hoff process associated with the discrete data $\{X_{t}\}_{t_i\in D}$. The Hoff process can be lifted to its natural rough path enhancement and we consider the question of convergence as the sampling frequency increases. We prove that the Ito integral can be recovered from a sequence of random ODEs driven by the components of $X^D$. This is in contrast to the usual Stratonovich integral limit suggested by the classical Wong-Zakai Theorem. Such random ODEs have a natural interpretation in the context of mathematical finance.

研究の動機と目的

• 離散的連続時系列データを、確率解析に適した粗い経路表現に変換するための標準的手法を開発すること。
• 観測された半マルティンゲールから、データのリード成分とラグ成分の両方を捉える区分的線形で軸に沿った過程を構築すること。
• サンプリング周波数が高くなるにつれて、構築された過程の粗い経路強化がイト積分に収束することを確立すること。
• ホフ過程によって駆動される確率的常微分方程式による新たな確率積分の解釈を提供し、古典的なストラトノビッチ極限とは異なるものとすること。
• 離散的サンプリング状況下における確率積分の数学的に厳密で金融解釈可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 時刻 $D = \{t_i\}$ で離散的に観測された $d$ 次元の連続半マルティンゲール $X$ を想定し、観測値の系列 $\{X_{t_i}\}$ を得る。
• ホフ過程 $X^D: [0,1] \to \mathbb{R}^{2d}$ を、$X$ の増分から導かれる過去成分と未来成分を組み合わせた区分的線形で軸に沿った過程として定義する。
• ホフ過程 $X^D$ をその自然な粗い経路強化に持ち上げることで、粗い経路理論の枠組み内での解析を可能にする。
• サンプリングが密になるにつれて、ホフ過程 $X^D$ が元の半マルティンゲールの標準的粗い経路に収束することを証明する。
• ホフ過程の成分によって駆動される確率的常微分方程式（SDE）の系列を定式化し、その解が元の半マルティンゲールのイト積分を回復することを示す。
• これらの確率的常微分方程式の極限がイト積分をもたらすことを確立し、ウォング＝ザカイ定理が予測する類似条件下でのストラトノビッチ積分の極限とは対照的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続半マルティンゲールから得られる離散的データセットを、確率積分に適した粗い経路に体系的に変換する方法は何か？
• RQ2 サンプリング周波数が高くなるにつれて、ホフ過程の粗い経路強化の極限的挙動はいかなるものか？
• RQ3 ホフ過程によって駆動される離散的観測プロセスの確率的常微分方程式の解の極限として、イト積分を回復できるか？
• RQ4 ホフ過程の収束が、古典的ウォング＝ザカイ結果とはどのように異なっているか。特に、積分の種別（イト対ストラトノビッチ）の観点から。
• RQ5 離散時間確率的モデリングの文脈において、ホフ過程によって駆動される確率的常微分方程式の金融的解釈は何か？

主な発見

• ホフ過程は、$d$ 次元の半マルティンゲールの離散的増分から構築された、$\mathbb{R}^{2d}$ 内の区分的線形で軸に沿った経路であり、リード成分とラグ成分の両方を捉えている。
• ホフ過程の粗い経路強化は、サンプリングが密になるにつれて、元の連続半マルティンゲールの標準的粗い経路に収束する。
• ホフ過程の成分によって駆動される確率的常微分方程式の解は、元の半マルティンゲールのイト積分に収束する。
• このイト積分への収束は、類似条件下でストラトノビッチ積分に収束するという古典的ウォング＝ザカイ定理とは対照的である。
• 本フレームワークは、離散的確率積分におけるウォング＝ザカイ型近似の代替として、数学的に厳密で金融解釈可能な新たな手法を提供する。
• 本手法は、観測が離散的時刻に限られる状況における確率積分の新たな計算的手順を提供し、定量的ファイナンス分野において直接的な関連性を持つ。