[論文レビュー] Discretely sampled variance and volatility swaps versus their continuous approximations

Robert A. Jarrow, Younes Kchia+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、金融市場における離散的サンプリングによるバイアス・ボラティリティ・スワップの連続時間近似の妥当性を厳密に分析する。離散的サンプリングされたスワップ価格が有限であり、連続的対応物に収束する条件を確立し、3/2確率的ボラティリティ・モデルにおいては、特定のパrameter領域でのみ収束が保証されることが示され、それ以外の場合は未解決の問題のままである。

ABSTRACT

Discretely sampled variance and volatility swaps trade actively in OTC markets. To price these swaps, the continuously sampled approximation is often used to simplify the computations. The purpose of this paper is to study the conditions under which this approximation is valid. Our first set of theorems characterize the conditions under which the discretely sampled swap values are finite, given the values of the continuous approximations exist. Surprisingly, for some otherwise reasonable price processes, the discretely sampled swap prices do not exist, thereby invalidating the approximation. Examples are provided. Assuming further that both swap values exist, we study sufficient conditions under which the discretely sampled values converge to their continuous counterparts. Because of its popularity in the literature, we apply our theorems to the 3/2 stochastic volatility model. Although we can show finiteness of all swap values, we can prove convergence of the approximation only for some parameter values.

研究の動機と目的

• 連続的近似が存在する場合に、離散的サンプリングされたバイアス・ボラティリティ・スワップ価格が有限である条件を特定すること。
• 離散的サンプリングされたスワップ価格が連続的対応物に収束する十分条件を同定すること。
• 特に3/2確率的ボラティリティ・モデルの文脈において、広く用いられている連続的近似の実用的妥当性を評価すること。
• 他の場合に比べて合理的な価格プロセスであっても、近似が失敗するケースを強調すること。
• バイアス・ボラティリティ・スワップの価格設定およびヘッジにおける連続的近似の使用の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 市場の一貫性を保証するため、ノ・フリーランチ・ウィズ・ヴァニッシング・リスク（NFLVR）条件の下でマルティンググール pricing フレームワークを用いる。
• おそらく不連続なパスを持つ株式価格プロセスをモデル化するために、セミマルティンググール理論を適用する。
• 定理3を用いて、離散的および連続的サンプリングされたスワップ価格の差の上界を導出する。
• 極限と期待値の交換を正当化するため、ボラティリティ過程にモーメント条件を課す。これは定理4で形式化されている。
• 既知の積分ボラティリティのラプラス変換を活用して、3/2確率的ボラティリティ・モデルに結果を適用する。
• 変則的超幾何関数およびガンマ関数を用いて、3/2モデルにおける積分ボラティリティのモーメントを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的近似が有限である場合に、離散的サンプリングされたバイアス・ボラティリティ・スワップ価格が存在する条件は何か？
• RQ2 サンプリング周波数を増加させた際、離散的サンプリングされたスワップ価格の極限が連続的近似に収束するのはいつか？
• RQ3 なぜ、合理的な確率的ボラティリティ・モデルであっても連続的近似が失敗する可能性があるのか？
• RQ4 3/2モデルにおいて、離散的サンプリングされたスワップ価格が連続的対応物に収束することが保証される正確なパrameter範囲は何か？
• RQ5 3/2モデルにおいて、離散的サンプリングされたバイアス・スワップが連続的対応物に収束することは、すべてのパrameter値に対して保証されるか？

主な発見

• 連続的近似が有限であっても、離散的サンプリングされたバイアス・スワップ価格が存在しない場合があるため、特定の価格プロセスでは近似が無効である。
• 離散的および連続的サンプリングされたスワップ価格の最大差は、$1/n$ に比例して減少する項によって上から有界である。ここで $n$ はサンプリング点の数である。
• 追加のモーメント条件を満たせば、離散的サンプリングされたスワップ価格が連続的対応物に収束することが保証される。これは定理4で形式化されている。
• 3/2確率的ボラティリティ・モデルでは、すべての許容可能なパrameterに対して、離散的および連続的スワップ価格が有限である。
• 収束は $q < 0$ の場合にのみ証明されており、これは二乗ボラティリティが平均回帰的である場合に相当する。$q \geq 0$ の場合、収束は未証明であり、未解決の問題のままである。
• 3/2モデルにおける積分ボラティリティのラプラス変換は、変則的超幾何関数を用いて閉形式で表現可能であり、これによりモーメント解析が可能になる。