[論文レビュー] Discreteness of spectrum for the magnetic Schrödinger operators. I

Vladimir Kondratiev, Mikhail Shubin|ArXiv.org|Jul 18, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、R^nおよび有界幾何構造をもつリーマン多様体上における磁気シュレーディンガー作用素の離散固有値の十分条件を、電場と磁場を統合した有効ポテンシャル V_eff を用いて確立する。主な結果は、Friedrichsの古典的条件（V(x) → ∞ として |x| → ∞ のとき）を一般化し、Molchanovの容量に基づく基準を磁気的状況に拡張するものであり、V_eff → ∞ または Molchanov型容量条件を満たせば、離散固有値が保証されることを示している。

ABSTRACT

We provide sufficient conditions for the discreteness of spectrum for magnetic Schrödinger operators. They generalize the classical result by K.Friedrichs (1934) and earlier results by J.Avron, I.Herbst and B.Simon (1978), A.Dufresnoy (1983) and A.Iwatsuka (1990) which were obtained in the absence of electric field. Our conditions are formulated as conditions of growth at infinity for some effective potentials. More precise sufficient conditions are formulated by use of the Wiener capacity and extend earlier work by A.M.Molchanov (1953) and V.Kondratiev and M.Shubin (1999) who considered the case of the operator without magnetic field. These conditions become necessary and sufficient in case when there is no magnetic field and the electric potential is semi-bounded below.

研究の動機と目的

• R^nおよび有界幾何構造をもつリーマン多様体上における磁気シュレーディンガー作用素 H_{a,V} の離散固有値の十分条件を特定すること。
• 1934年にFriedrichsが得た古典的結果（電場ポテンシャル V(x) → ∞ として |x| → ∞ のときの離散固有値）を、磁場を含む状況に一般化すること。
• 1953年にMolchanovが得た離散固有値の必要十分条件（容量に基づくもの）を、電場と磁場の両方を含む磁気的状況に拡張すること。
• 磁場が存在しない場合に、V が下に有界であるとき、固有値の離散性が有効ポテンシャル V_eff がMolchanov型容量条件を満たすことと同値であることを確立すること。
• 幾何学的およびポテンシャル論的道具、特にウィーナー容量を用いた、磁場が存在する状況におけるスペクトル離散性の分析フレームワークを提供すること。

提案手法

• 実数値の a_j および V を用いて、磁気シュレーディンガー作用素 H_{a,V} = ∑(P_j)^2 + V を定義する。ここで P_j = (1/i)∂/∂x^j + a_j である。
• 有効ポテンシャル V_eff(x) = V(x) + δ|B(x)| - C_0δ X^2(x) を導入する。ここで B は磁場、X は |∇A| を上から押さえるものであり、δ は小さなパラメータである。
• 多様体を球の有限被覆で覆い、IMS局在化公式を用いて、H_{a,V} ≥ δ B - C というグローバルな下界を得る。
• ウィーナー容量に基づく推定を用いて、V_eff の無限遠における挙動を特徴づけ、Molchanovの基準を一般化する。
• 熱核推定およびFeynman-Kac公式を用いて、スペクトル性質と容量、ポテンシャルの挙動との関係を関係づける。
• 与えられた条件下で本質的自己共役性および下に有界であることを証明し、V_eff が容量条件を満たしていればスペクトルが適切に定義され、離散的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電場および磁場にどのような条件下で、磁気シュレーディンガー作用素のスペクトルが離散的になるか？
• RQ2 Friedrichsの古典的条件（V(x) → ∞ として |x| → ∞ のとき）を、磁場を含む状況に拡張できるか？
• RQ3 Molchanovの容量に基づく離散スペクトルの基準を、磁気シュレーディンガー作用素に一般化できるか？
• RQ4 有効ポテンシャル V_eff(x) = V(x) + δ|B(x)| - C_0δ X^2(x) がスペクトル離散性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 磁場がなく、V が下に有界であるとき、V_eff に対する容量条件は必要かつ十分か？

主な発見

• 有効ポテンシャル V_eff(x) → +∞ が |x| → ∞ のとき成り立つならば、H_{a,V} のスペクトルは離散的である。これは1934年のFriedrichsの結果を磁気的状況に一般化したものである。
• スペクトルの離散性の十分条件はウィーナー容量を用いて与えられる：集合 F に対して cap(F) ≤ c cap(B(x,r)) を満たし、∫_{B(x,r)\F} V(y) dy → +∞ が |x| → ∞ のとき成り立つならば、スペクトルは離散的である。
• 有界幾何構造をもつ多様体に対しては、有効ポテンシャル V_eff がある c > 0 に対してMolchanov条件 (M_c) を満たしていれば、スペクトルの離散性が保証される。
• B = 0 で V が下に有界であるとき、Molchanov条件 (M_c) は離散スペクトルの必要かつ十分条件となり、以前の結果が拡張される。
• この手法は、局所的なIMS局在化公式と |∇A| に関する推定に依拠しており、グローバルな下界 H_{a,V} ≥ δ B - C を得ることで、スペクトルの離散性を保証する。
• 結果は局所的な正則性仮定に対して頑健である：a_j ∈ C^1(R^n)、V ∈ L^1_loc(R^n) かつ局所的に下に有界であり、二次形式のアプローチにより自己共役性が保証される。