[論文レビュー] Discretisation of continuous-time linear dynamical model with the Loewner interpolation framework

Pierre Vuillemin, Charles Poussot-Vassal|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、連続時間線形時不変（LTI）システムの離散化に、Loewner補間に基づく手法を提案する。この手法により、高次離散モデルを構築することで、周波数領域および時間領域における精度が向上する。周波数データを補間し、安定部分空間へ射影することで、ZOHおよびTustin法に比べて優れたマグニチュードおよび位相一致を達成し、時間遅れ系では相対誤差が0.094%まで低下する。

ABSTRACT

An interpolation method for discretising continuous-time Linear Time Invariant (LTI) models is proposed in this paper. It consists first in using the Loewner interpolation framework on a specific set of frequency data and secondly to project the resulting model onto a stable subspace. The order of the discretised model may be chosen larger than the initial one thus allowing for trading complexity for accuracy if needed. Numerical examples highlight the efficiency of the method at preserving a satisfactory matching both in magnitude and phase in comparison to standard discretisation methods like ZOH or Tustin.

研究の動機と目的

• 周波数領域および時間領域の両方で入出力挙動を保持する、連続時間LTIシステムの堅牢な離散化手法の開発。
• 大きなサンプリング周期において精度が低下する標準的手法（ゼロ次ホールド（ZOH）およびTustin）の限界を解消すること。
• サンプリング周期を短縮せずに、モデル次数の増加により精度を向上させるためのモデル次数の拡張を可能とすること。
• 標準的な状態空間モデルにとどまらないシステム、例えば時間遅れ系（TDS）への適用可能性を拡張すること。
• 結果として得られる離散モデルの安定性を保証するため、$\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$ への射影を実施すること。

提案手法

• 複素周波数領域における指定された区間 $\Omega$ にわたる周波数応答データを用いて、Loewner行列を構築する。
• Loewner行列から有理関数補間を構築し、任意の次数 $k$ の初期離散時間モデルを生成する。
• 最終的な離散モデルの安定性を保証するため、補間関数を安定部分空間 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$ に射影する。
• 離散化モデル次数 $n_d$ を元のシステム次数 $n$ を超えるように許容し、複雑性の増加により精度を向上させる。
• 状態空間構造を必要としない周波数領域データを用いることで、標準LTIシステムおよび時間遅れ系の両方への適用を可能にする。
• 最終モデルが閉単位円板内で安定かつ正則であるように、射影作用素 $P_\infty$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZOHおよびTustinといった標準的手法に比べて、Loewner補間フレームワークは、周波数領域および時間領域での一致性をより良く達成できるか？
• RQ2 サンプリング周期を短縮せずに、モデル次数 $k$ を増加させることで、離散時間近似の精度をどの程度向上できるか？
• RQ3 標準的な状態空間表現を持たない時間遅れ系の離散化において、Loewner法はどの程度有効か？
• RQ4 補間関数を $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$ に射影することで、安定性を保ちつつ精度を維持できるか？
• RQ5 連続領域と離散領域が対称的であることを踏まえ、離散モデルを元の連続時間モデルに再変換するための適応が可能か？

主な発見

• 時間遅れ系において、提案手法は $\mathcal{H}_\infty$ ノルムで相対誤差0.094%を達成した。一方、Tustin法では126.85%、ZOHでは503.71%であった。
• 標準LTI系において、提案手法はZOHの72%、Tustinの42%に比べ、相対誤差を22%まで低減した。
• Loewner法で離散化されたモデルのインパulse応答は、元の連続時間システムと非常に良く一致しており、時間領域での誤差が顕著に減少した。
• Loewnerベースのモデルの周波数応答は、周波数帯域全域にわたり、マグニチュードおよび位相の両面で優れた一致を示した。
• 本手法により、時間遅れ系が次数10の遅れなし有理関数モデルに正しく離散化され、システムのダイナミクスが最小限の誤差で保持された。
• $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$ への射影ステップにより、高次モデルに対しても安定性が保証され、高い精度が維持された。