[論文レビュー] Discretisation of heterogeneous and anisotropic diffusion problems on general non-conforming meshes. SUSHI: a scheme using stabilisation and hybrid interfaces

Robert Eymard, Thierry Gallouët+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2008

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、一般の非適合メッシュ上で異方的かつ不均質な拡散問題を解くための対称的でセル中心型の有限体積法、SUSHIスキームを提示する。ハイブリッド界面と安定化手法を導入することで、解に正則性の仮定を必要とせず、局所的保存性を維持し、正確な解への収束を達成する。滑らかさの条件下では1次誤差推定が得られる。

ABSTRACT

A discretisation scheme for heterogeneous anisotropic diffusion problems on general meshes is developed and studied. The unknowns of this scheme are the values at the centre of the control volumes and at some internal interfaces which may for instance be chosen at the diffusion tensor discontinuities. The scheme is therefore completely cell centred if no edge unknown is kept. It is shown to be accurate on several numerical examples. Mathematical convergence of the approximate solution to the continuous solution is obtained for general (possibly discontinuous) tensors, general (possibly non-conforming) meshes, and with no regularity assumption on the solution. An error estimate is then drawn under sufficient regularity assumptions on the solution.

研究の動機と目的

• 一般の非適合メッシュ上、特に非適合なメッシュを含む、異方的かつ不均質な拡散問題に対して、対称的でセル中心型の有限体積スキームを開発すること。
• 不均質な媒質間の界面における数値フラックスの局所的保存性を保証すること。
• 正確な解の正則性を仮定しない条件下でも、離散解が連続解に収束することを確立すること。
• 解に適切な正則性仮定をおくことで、誤差推定を導出すること。
• 将来の研究の基盤として、Leray-Lions型の非線形作用素へのスキームの拡張を図ること。

提案手法

• セル中心の未知数に加え、特に拡散テンソルの不連続箇所における内部界面にも追加の未知数を導入することで、精度と安定性を向上させる。
• 非適合有限要素フレームワークに基づく離散弱形式を採用し、得られる線形系の対称性を保証する。
• 勾配再構成を制御するための安定化手法を導入し、離散勾配がL^pノルムで有界であることを保証する。
• 各制御体積および界面における有限体積的バランスを通じて、数値フラックスの局所的保存性を実装する。
• セル値と界面値を用いて離散勾配作用素を定義し、極限において連続勾配と整合性を持つ再構成を実現する。
• 関数解析的手法を用いて収束を証明し、離散勾配の有界性と真の勾配への弱収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非適合メッシュ上、異方的かつ不均質な拡散問題に対して、対称的でセル中心型の有限体積スキームを構築可能か？
• RQ2 不均質な媒質間の界面において、フラックスの局所的保存性が維持されるか？
• RQ3 解の正則性を仮定しない条件下でも、離散解が正確な解に収束することが保証されるか？
• RQ4 解または拡散テンソルに滑らかさの仮定をおくと、収束速度はどの程度か？
• RQ5 Leray-Lionsクラスに属する非線形拡散作用素へ、このスキームを拡張可能か？

主な発見

• SUSHIスキームは、解がH^1_0(Ω)に属する以上の正則性を持たない場合でも、連続問題の正確な解に収束することが示された。
• 解に適切な正則性仮定をおくと、誤差推定として1次のオーダーが得られ、その境界はメッシュサイズと拡散テンソルの性質に依存する。
• 数値実験では、解のL^2ノルムにおいて2次収束が観察され、実際の計算において高い精度を示した。
• 不連続な拡散テンソルを有する界面を含め、すべての界面でフラックスの局所的保存性が維持された。
• 離散勾配作用素は、メッシュに依存しない一様なL^pノルムで有界であり、安定性を保証した。
• 収束証明は、Leray-Lions作用素に従う非線形問題へも拡張可能であり、線形拡散を超えた広範な適用可能性を示唆した。