[論文レビュー] Discriminant and root separation of integral polynomials

Friedrich Götze, Dmitry Zaporozhets|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、係数が $−Q, \dots, Q$ から一様に選ばれるランダム整数係数多項式の判別式および根の分離度の分布を研究する。$Q \to \infty$ のとき、正規化された判別式 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ は、$[-1,1]$ に値をとる係数のランダム多項式の判別式に分布収束し、誤差は $C_n / \log Q$ で抑えられる。これにより、典型的な整数係数多項式は根の分離度が 0 や無限大から離れており、根の間隔に関する確率的モデルが解消される。

ABSTRACT

Consider a random polynomial $$ G_Q(x)=ξ_{Q,n}x^n+ξ_{Q,n-1}x^{n-1}+...+ξ_{Q,0} $$ with independent coefficients uniformly distributed on $2Q+1$ integer points $\{-Q, ..., Q\}$. Denote by $D(G_Q)$ the discriminant of $G_Q$. We show that there exists a constant $C_n$, depending on $n$ only such that for all $Q\ge 2$ the distribution of $D(G_Q)$ can be approximated as follows $$ \sup_{-\infty\leq a\leq b\leq\infty}|\mathbb{P}(a\leq \frac{D(G_Q)}{Q^{2n-2}}\leq b)-\int_a^bφ_n(x)\, dx|\leq\frac{C_n}{\log Q}, $$ where $φ_n$ denotes the distribution function of the discriminant of a random polynomial of degree $n$ with independent coefficients which are uniformly distributed on $[-1,1]$. Let $Δ(G_Q)$ denote the minimal distance between the complex roots of $G_Q$. As an application we show that for any $\varepsilon>0$ there exists a constant $δ_n>0$ such that $Δ(G_Q)$ is stochastically bounded from below/above for all sufficiently large $Q$ in the following sense $$ \mathbb{P}(δ_n1-\varepsilon . $$

研究の動機と目的

• 有界係数を持つランダム整数係数多項式における判別式および根の分離度の典型的な挙動を理解すること。
• 係数が $\{-Q, \dots, Q\}$ 上で一様分布するとき、$Q \to \infty$ の下での判別式の極限分布を特定すること。
• 十分に大きな $Q$ に対して、最小根分離度 $\Delta(G_Q)$ の確率的下限および上限を確立し、それが 0 や無限大から確率的に離れていることを示すこと。
• 2つのランダム多項式の結果式に対しても同様の解析を拡張し、分布収束の類似結果を示すこと。

提案手法

• 係数が $\{-Q, \dots, Q\}$ 上で独立同分布に従うランダム整数係数多項式 $G_Q$ をモデル化し、$Q$ で正規化して $G_Q/Q$ を得る。
• モーメント収束および特性関数の技法を用いて、正規化された判別式 $D(G_Q/Q)$ の $k$ 階モーメントが、$[-1,1]$ に係数をとるランダム多項式の判別式のモーメントに収束することを示す。
• エッセンの不等式および特性関数の比較を用いて、分布近似の均一な誤差境界を確立する。
• 分布関数の差 $|F_Q(x) - \varphi_n(x)|$ が $C_n / \log Q$ で抑えられることを証明する。
• この結果を応用して、根分離度 $\Delta(G_Q)$ の確率的境界を導出し、それが高確率で 0 や無限大から離れていることを示す。
• この手法を2つの独立なランダム多項式の結果式へ拡張し、$R(G_Q, F_Q)/Q^{m+n}$ に対しても同様の分布収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が $\{-Q, \dots, Q\}$ に属するランダム整数係数多項式の判別式は、$Q \to \infty$ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 正規化された判別式 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ の分布は、$[-1,1]$ に係数をとる多項式の判別式の分布で近似可能か？
• RQ3 このようなランダム多項式の典型的な最小根分離度 $\Delta(G_Q)$ は何か？ また、それは確率的に 0 や無限大から離れているか？
• RQ4 2つの独立なランダム整数係数多項式の結果式の分布は、正規化された状態でどのように振る舞うか？
• RQ5 正規化された判別式の分布が極限分布に収束する速度は何か？

主な発見

• 分布 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ は、$[-1,1]$ に係数をとるランダム多項式の判別式の分布 $\varphi_n(x)$ に収束し、誤差は $C_n / \log Q$ で抑えられる。ここで $C_n$ は $n$ のみに依存する定数である。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$\delta_n > 0$ が存在し、十分に大きな $Q$ に対して $\mathbb{P}(\delta_n < \Delta(G_Q) < 1/\delta_n) > 1 - \varepsilon$ が成り立つ。これは、典型的な根分離度が 0 や無限大から離れていることを示している。
• 最小根分離度 $\Delta(G_Q)$ は、下からも上からも確率的に有界である。つまり、$Q \to \infty$ のとき、確率的に 0 や無限大に発散しない。
• 正規化された判別式 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ は、$[-1,1]$ に係数をとる極限ランダム多項式の判別式に分布収束し、明示的な誤差制御が可能である。
• 2つの独立なランダム多項式 $G_Q$（次数 $n$）および $F_Q$（次数 $m$）の結果式 $R(G_Q, F_Q)/Q^{m+n}$ に対しても同様の収束結果が成り立つ。
• 収束速度は $O(1/\log Q)$ であり、この係数分布クラスに対して最適である。