[論文レビュー] Discriminant module and intersection theory on Hilbert schemes of nodal curves

Ziv Ran|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、任意の次元の基底上におけるノード付きまたは滑らかな曲線の相対ヒルベルト汎関係の上で、対角的局所、ノードスクリューやそれらのねじれを用いて、新たな判別モジュールを導入する。このモジュールにおける判別または大きな対角除数の作用を同定することで、これらのヒルベルトスキーム上のタウトロジカルベクトルバンドルの任意のチャーン多項式およびチャーン数の計算が可能になる。

ABSTRACT

ABSTRACT. We study intersection theory on the relative Hilbert scheme of a family of nodal (or smooth) curves, over a base of arbitrary dimension. We introduce an additive group called ’discriminant module’, generated by diagonal loci, node scrolls, and twists thereof, and determine the action of the discriminant or big diagonal divisor on this group by intersection. We show that this suffices to determine arbitrary polynomials in Chern classes, in particular Chern numbers, for the tautological vector bundles on the Hilbert schemes, which are closely related

研究の動機と目的

• 任意の次元の基底上におけるノード付きまたは滑らかな曲線の相対ヒルベルトスキームにおける交線論の体系的枠組みの構築を目的とする。
• 対角的局所、ノードスクリュー、およびそれらのねじれによって生成される加法的群（以下、判別モジュールと呼ぶ）を定義し、その性質を調査することを目的とする。
• 交線論を用いて、判別または大きな対角除数が判別モジュール上に作用する方法を同定することを目的とする。
• これらのヒルベルトスキーム上のタウトロジカルベクトルバンドルのチャーン類に関する任意多項式の計算手法を確立することを目的とする。
• ノード曲線のヒルベルトスキーム上のタウトロジカルバンドルのチャーン数を体系的に計算するためのツールを提供することを目的とする。

提案手法

• 相対ヒルベルトスキームのチャーン群内に、対角的局所、ノードスクリュー、およびそれらのねじれによって生成される判別モジュールを構成する。
• 相対ヒルベルトスキーム上の主要な除数類として、判別または大きな対角除数を定義する。
• 交線論的技法を用いて、判別除数が判別モジュールの生成子に作用する様子を計算する。
• 得られた交線公式を基に、タウトロジカルベクトルバンドルのチャーン類の間の関係を導出する。
• 理論を応用し、これらのヒルベルトスキーム上のタウトロジカルバンドルの任意のチャーン多項式およびチャーン数を計算する。
• 曲線の族の相対的構造を活用し、絶対的状況を超えて一般化された結果を得ることを目的とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、任意の次元の基底上におけるノード付きまたは滑らかな曲線の族の相対ヒルベルトスキーム上で、交線論を体系的に展開できるか？
• RQ2 対角的局所、ノードスクリュー、およびそれらのねじれによって生成される判別モジュールの構造はどのようなものか？
• RQ3 交線論的観点から、判別または大きな対角除数が判別モジュール上にどのように作用するか？
• RQ4 判別モジュール上の交線作用を用いて、タウトロジカルベクトルバンドルの任意のチャーン多項式を計算できるか？
• RQ5 ノード曲線のヒルベルトスキーム上のタウトロジカルバンドルの明示的チャーン数の公式は何か？

主な発見

• 判別モジュールは、相対ヒルベルトスキームのチャーン群内に、対角的局所、ノードスクリュー、およびそれらのねじれによって生成される加法的群として定義される。
• 判別または大きな対角除数が判別モジュール上に作用する様子は、交線論的計算によって完全に同定されている。
• この作用は、ヒルベルトスキーム上のタウトロジカルベクトルバンドルのチャーン類に関する任意多項式の計算を完全に可能にするフレームワークを提供する。
• この手法により、ノード曲線のヒルベルトスキーム上のタウトロジカルバンドルのチャーン数を明示的に計算できる。
• 結果は、絶対的状況に限らず、任意の次元の基底上に存在する曲線の族へ一般化可能である。
• 理論は、相対ヒルベルトスキームの文脈において、幾何的局所と特性類の間の体系的橋渡しを確立する。