[論文レビュー] Discriminating Power of Centrality Measures

M. Puck Rombach, Mason A. Porter|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ネットワークの中心性測度の識別力について調査し、等しい部分グラフ中心性が他の中心性測度においても等しくなるというエストラダの予想に反論している。反例を用いて、非頂点推移的グラフにおいて、近接性中心性と媒介性中心性が等しくなることが可能であることを示し、予想を改訂した。部分グラフ中心性の分散がゼロであるのは、グラフがウォーク正則であるときであり、かつそのときに限る。近接性および媒介性中心性の分散がゼロであるのは、グラフが距離正則であるときであり、かつそのときに限る。

ABSTRACT

The calculation of centrality measures is common practice in the study of networks, as they attempt to quantify the importance of individual vertices, edges, or other components. Different centralities attempt to measure importance in different ways. In this paper, we examine a conjecture posed by E. Estrada regarding the ability of several measures to distinguish the vertices of networks. Estrada conjectured that if all vertices of a graph have the same subgraph centrality, then all vertices must also have the same degree, eigenvector, closeness, and betweenness centralities. We provide a counterexample for the latter two centrality measures and propose a revised conjecture.

研究の動機と目的

• 非対称的グラフにおいて、中心性測度が頂点を区別できる能力を評価すること。
• 等しい部分グラフ中心性が、次数、固有ベクトル中心性、近接性中心性、および媒介性中心性も等しいというエストラダの予想を検証すること。
• グラフの非対称性があるにもかかわらず、中心性測度が頂点を区別できない条件を同定すること。
• 部分グラフ中心性の分散がゼロである条件を、グラフ正則性の性質（ウォーク正則性および距離正則性）に関連付ける、改訂された予想を提示すること。

提案手法

• 特に近接性中心性および媒介性中心性に関して、元の予想を反証する反例を構築する。
• スぺクトルグラフ理論を用いて、隣接行列の固有値および固有ベクトルを用いて部分グラフ中心性を計算する：$ sc_i = \sum_{j=1}^n (v_j^i)^2 e^{\lambda_j} $。
• 頂点推移的、ウォーク正則、距離正則、非正則グラフなどの異なるグラフクラスにおいて、中心性測度の分散を分析する。
• 近接性中心性の定義を用いる：$ cc_i = \frac{n-1}{\sum_{j \in V(G)} P(i,j)} $、ここで$ P(i,j) $は最短経路長である。
• 媒介性中心性を適用する：$ bc_i = \sum_{j,k \in V(G)\setminus i} \frac{P^*_{jk}(i)}{P^*_{jk}} $、頂点$ i $を通過する最短経路の数を数える。
• 既知のグラフ理論的性質を活用する：距離正則グラフでは、すべての頂点において$ |\Gamma^r(i)| $が一様であるため、中心性値も等しくなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非頂点推移的グラフにおいて、近接性および媒介性中心性がすべての頂点で等しくなることは可能か？
• RQ2 すべての頂点で部分グラフ中心性が等しいことは、他の中心性測度においても値が等しいことを意味するか？
• RQ3 すべての中心性測度が頂点を区別できないようにするグラフの性質は何か？
• RQ4 部分グラフ中心性の分散がゼロであるようなグラフの正確な特徴づけは何か？
• RQ5 近接性および媒介性中心性が頂点を区別できないのは、どのような条件下か？

主な発見

• 等しい部分グラフ中心性が、近接性または媒介性中心性も等しいことを示す反例が提示され、エストラダの元の予想が反証された。
• 本論文は、改訂された予想を提示する：$ \text{var}(sc_G) = 0 $ であるのは、$ G $ がウォーク正則であるときであり、かつそのときに限る。
• 距離正則グラフでは、近接性および媒介性中心性の両方の分散がゼロであることが証明された。すなわち、$ \text{var}(cc_G) = 0 $ および $ \text{var}(bc_G) = 0 $ である。
• 近接性中心性の逆は成り立たない。図3の反例により、$ \text{var}(cc_G) = 0 $ であってもグラフが距離正則でない場合があることが示された。
• ゴッドサイル＝マケイのグラフや、その他のウォーク正則だが距離正則でないグラフは、媒介性中心性では区別可能であるが、近接性中心性では区別不能であることを示している。
• 距離正則グラフ（例：トゥッテ12ケージ、チャングラフ）は、すべての標準的中心性測度が頂点を区別できない唯一の既知のグラフであり、これはすべての頂点で$ |\Gamma^r(i)| $が一様であるためである。