[論文レビュー] Discriminating properties of compactification in discrete uniform isotropic space-time

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2008

Relativity and Gravitational Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単一の値をとる世界関数によって形式化された離散的で一様かつ等方的な5次元時空幾何におけるコンパクト化が、基本粒子の電荷の値を自然に制限することを提案する。第5次元を周期 $2L$ でコンパクト化することで、電荷に幾何的上限が生じ、実験的観測と整合する $|e| \leq e_0$ を得る。これは、従来のカルラツ＝クライン理論において電荷が制限を受けないという主要な限界を解消する。

ABSTRACT

Compactification of the 5-dimensional Kaluza-Klein space-time geometry is considered. The space-time geometry is supposed to be discrete, uniform and isotropic. It is shown, that consideration of the space-time geometry as a physical geometry, i.e. as a geometry described completely by the single-valued world function, leads to a discrimination of some values of the particle charge. At the conventional approach, when the world function becomes to be many-valued after compactification, the value of the elementary particle electric charge remains to be unrestricted, and this fact does not agree with experimental data. It is important, that the discrete geometry is given on the continual set of points. This circumstance makes admissible a compatibility of discreteness with the uniformity and isotropy of the geometry.

研究の動機と目的

• コンパクト化が多値の世界関数を生じさせ、実験データと矛盾する無制限の電荷をもたらすカルラツ＝クライン理論における不整合を解消すること。
• 離散的で一様かつ等方的な時空幾何が、単一の値をとる世界関数を用いて一貫して記述可能であり、量子的性質の幾何的導出を可能にすること。
• 離散的物理幾何におけるコンパクト化が、安定な基本粒子の電荷に幾何的上限を課することを示すこと。
• 量子力学的仮定を導入せずに、電荷の量子化に幾何的基礎を確立すること。これにより、基本電荷をコンパクト化スケールとプランク長スケールに関連付ける。

提案手法

• 座標や公理的体系に依存せずに、すべての幾何的関係を定義する単一の値をとる世界関数 $\sigma(P,Q)$ を用いて時空幾何を形式化すること。
• 5次元時空を離散的で一様かつ等方的とし、第5次元を半径 $L/2$ の円にコンパクト化すること。
• 世界関数を用いて幾何的運動量 $\pi_5$ を定義し、$p_5 = bc\pi_5$ を通じて物理的運動量 $p_5$ と関連付ける。ここで $b$ は幾何から導かれる。
• 波動関数 $\psi$ がコンパクト化された次元で単一の値をとることを課し、これにより $p_5$ が整数 $s$ に対して $p_5 = \frac{\pi\hbar}{L}s$ の離散値に制限されることを示すこと。
• 幾何的制約から $|s| < \frac{3L^2}{4\pi\lambda_0^2}$ を導出し、これにより電荷の上限が得られること。ここで $\lambda_0$ は基本長である。
• $\varkappa = \frac{e_0 L}{\pi \hbar c}$ を用いて最大電荷を基本電荷 $e_0$ に関連付け、$L \sim \lambda_0$ のとき $|e| \leq e_0$ が成り立つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的で一様かつ等方的な時空幾何が、多値の世界関数を生じさせることなく、コンパクト化を一貫して記述可能か？
• RQ2 物理幾何学フレームワークにおける幾何的離散性は、電荷の量子化を引き起こすか？
• RQ3 観測された基本粒子電荷の上限（$e_0$）が、5次元カルラツ＝クラインモデルにおける幾何的制約から純粋に導けるか？
• RQ4 物理幾何学における単一の値をとる世界関数の使用が、離散性、等方性、一様性の整合性をどのように実現するか？

主な発見

• 離散的で一様かつ等方的な5次元時空幾何のコンパクト化は、電荷の取りうる値を制限し、$|e| \leq e_0$ をもたらす。
• 電荷の上限は、コンパクト化された第5次元における波動関数が単一の値をとることを要請することで生じ、これにより運動量 $p_5$ が量子化される。
• 最大電荷は $|s| = 1$ のとき達成され、これはコンパクト化された次元における最小の非ゼロ運動量に対応し、$|e| = e_0$ をもたらす。
• この上限は幾何的である：$|s| < \frac{3L^2}{4\pi\lambda_0^2}$ であり、$L \sim \lambda_0$ のとき $|s| < 1.91$ となるため、$|s| = 1$ のみが許容され、$|e| \leq e_0$ が得られる。
• 基本電荷 $e_0$ は、コンパクト化スケール $L$ とプランクスケール長 $\lambda_0$ との間に $\varkappa = \frac{e_0 L}{\pi \hbar c}$ の関係で幾何的に関連づけられる。
• この結果は、量子力学を導入せず、単一の値をとる世界関数に基づく物理幾何学形式化により、電荷の量子化が幾何から自然に生じることを示している。