[論文レビュー] Disentangling modes with crossover instantaneous frequencies by synchrosqueezed chirplet transforms, from theory to application

Ziyu Chen, Hau‐Tieng Wu|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2021

Image and Signal Denoising Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位相再割り当てを活用して、周波数が交差する振動モードを分離する、時間周波数チルプレート（TFC）表現の新規な手法であるシンクロスキューリングド・チルプレット変換（SCT）を提案する。位相に基づく再割り当てにより、チルプレット変換のぼやけを改善することで、SCTは高コントラストで集中したTFC表現を実現し、理論的保証のもとで非定常信号における重複するモードの正確な分離が可能になる。

ABSTRACT

Analysis of signals with oscillatory modes with crossover instantaneous frequencies is a challenging problem in time series analysis. One way to handle this problem is lifting the 2-dimensional time-frequency representation to a 3-dimensional representation, called time-frequency-chirp rate (TFC) representation, by adding one extra chirp rate parameter so that crossover frequencies are disentangled in higher dimension. The chirplet transform is an algorithm for this lifting idea, which leads to a TFC representation. However, in practice, we found that it has a strong ``blurring'' effect in the chirp rate axis, which limits its application in real-world data. Moreover, to our knowledge, we have limited mathematical understanding of the chirplet transform in the literature. Motivated by the need for the real-world data analysis, in this paper, we propose the synchrosqueezed chirplet transform (SCT) that enhances the TFC representation given by the chirplet transform. The resulting concentrated TFC representation has high contrast so that one can better distinguish different modes with crossover instantaneous frequencies. The basic idea is to use the phase information in the chirplet transform to determine a reassignment rule that sharpens the TFC representation determined by the chirplet transform. We also analyze the chirplet transform and provide theoretical guarantees of SCT.

研究の動機と目的

• 時系列解析における周波数が交差する振動モードの分離という課題に対処すること。
• 実世界のデータにおいて、従来のチルプレット変換がチルプレットレート軸に強いぼやけを示す問題を克服すること。
• チルプレット変換およびそのシンクロスキューリングド変種の数学的厳密なフレームワークを提供すること。
• 周波数交差に対しても正確なモード分離が可能な、高コントラストで集中したTFC表現を開発すること。
• 非定常信号に含まれる複雑で重複する振動成分に対応できるように、時間周波数解析の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 周波数とチルプレットレートの両方を含む3次元の時間周波数チルプレット（TFC）表現に、2次元の時間周波数表現を拡張する。チルプレット変換により、周波数の交差を解消するためのチルプレットレートパラメータを追加する。
• チルプレット変換の出力に対して、位相に基づく再割り当てを適用し、瞬時位相を用いて、より集中したTFC表現を決定する。
• 位相微分情報に基づいて、チルプレット変換の時間周波数チルプレットレート成分を再割り当てすることで、シンクロスキューリングド・チルプレット変換（SCT）を定義する。
• 局所的2次位相仮定の下で、$\varepsilon$-ICT（イプシロン瞬時チルプレットレート）モデルを用いて、本手法の理論的裏付けを提供する。
• 適応的ウィンドウ処理を用いたSCTアルゴリズムを実装し、合成信号および実世界の信号（オオカミのハウリング録音を含む）での性能を検証する。
• $\varepsilon$-ICT仮定の下で、SCTの理論的収束性および安定性の保証を確立し、既存のSST理論を高次元時間周波数表現へと拡張する。

Figure 1. Top row, from left to right: the plot of $\Re(f_{1}+f_{2})$ , the plot of the IFs of $f_{1}$ and $f_{2}$ , and the spectrogram. Note that their IFs have a crossing point at $(t_{0},\xi_{0})=(3,24)$ . All the plots are generated with the kernel $g_{0}=e^{-\pi x^{2}}$ . Second row, from left

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チルプレット変換は、モード分離のためのチルプレットレート次元におけるぼやけを軽減できるように拡張可能か？
• RQ2 チルプレット変換からの位相情報は、TFC表現におけるエネルギー再割り当てにどのように利用され、集中性を高めることができるか？
• RQ3 周波数が交差するモードを分離する際、シンクロスキューリングド・チルプレット変換の安定性と正確性を保証する理論的条件は何か？
• RQ4 提案されたSCTは、複雑で非正弦波的かつ重複する振動成分を含む実世界信号に対して、どのように性能を発揮するか？
• RQ5 多項式的または2次関数的でない位相関数を有する信号にSCTを適用した場合、計算的および理論的限界は何か？

主な発見

• 合成信号において、シンクロスキューリングド・チルプレット変換（SCT）は、周波数が交差するモードを明確に分離でき、TFC表現における明確な分離が確認された。
• SCTは、チルプレットレート軸に強いぼやけを示す元のチルプレット変換と比較して、TFC表現において顕著に高いコントラストを達成した。
• 2つの2次位相成分から成る合成信号において、$ t_0 = 3 $ および $ \xi_0 = 24 $ の地点で周波数が交差する現象を効果的に解消できた。
• 実世界データ（16〜17秒のオオカミのハウリング信号）においても、SCTは複数のモードを明確に分離しており、TFCプロットによる視覚的証拠として集中したエネルギーリッジが観察された。
• 理論的分析により、$\varepsilon$-ICT仮定の下でSCTが安定的かつ集中的なTFC表現を提供することが確認され、シンクロスキューリングの枠組みが高次元時間周波数表現へと拡張された。
• ノイズ耐性は実験的に観察された（例えば、図8を参照）が、本稿ではノイズ耐性の理論的裏付けは未解決の問題として今後の課題として挙げられている。

Figure 2. An illustration of SCT with the standard Gaussian window. From left to right: the 3-dim visualization of $\mathinner{\!\left\lvert S_{f}^{(g_{0})}(t,\xi,\lambda)\right\rvert}$ , the projection of $\mathinner{\!\left\lvert S_{f}^{(g_{0})}(t,\xi,\lambda)\right\rvert}$ onto the time-frequency