[論文レビュー] Disjoint Hypercyclicity along filters

Yunied Puig|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Functional Equations Stability Results参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、重み付き後退シフトに関する結果を拡張し、フィルターを用いた非交差超巡回性の特徴付けを行い、$B_w$ が $$\mathscr{F}$-重み付き後退シフトであるための必要十分条件を示している。これは、$\mathscr{F}$ が余ファイニット集合を真に含むフィルターである限り、任意の $r \in \mathbb{N}$ に対して $(B_w, \dots, B_w^r)$ が $d$-$\mathscr{F}$ であることと同値である。さらに、この性質は重み付きシフトを超えて一般化されないことが示されており、$(T, T^2)$ が $d$-シンデティックでない混合型作用素 $T$ が存在する。

ABSTRACT

We extend a result of Bès, Martin, Peris and Shkarin by stating: $B_w$ is $\mathscr{F}$-weighted backward shift if and only if $(B_w,\dots, B_w^r)$ is $d$-$\mathscr{F}$, for any $r\in \mathbb{N}$, where $\mathscr{F}$ runs along some filters containing strictly the family of cofinite sets, which are frequently used in Ramsey theory. On the other hand, we point out that this phenomenon does not occur beyond the weighted shift frame by showing a mixing linear operator $T$ on a Hilbert space such that the tuple $(T, T^2)$ is not $d$-syndetic. We also investigate the relationship between reiteratively hypercyclic operators and $d$-$\mathscr{F}$ tuples, for filters $\mathscr{F}$ contained in the family of syndetic sets. Finally, we examine conditions to impose in order to get reiterative hypercyclicity from syndeticity in the weighted shift frame.

研究の動機と目的

• Bès らによる非交差超巡回性に関する結果を、余ファイニット集合を含むより広いクラスのフィルターへ拡張すること。
• 重み付き後退シフトで観察される非交差超巡回性の現象が、一般の線形作用素へ一般化可能かどうかを調査すること。
• シンデティック集合に含まれるフィルターについて、再帰的超巡回性と $d$-$\mathscr{F}$ なタプルの関係を明確にすること。
• 重み付きシフトの枠組みにおいて、シンデティック性から再帰的超巡回性が導かれる十分条件を同定すること。

提案手法

• 余ファイニット集合の家族を真に含むフィルター $\mathscr{F}$ を用いて、非交差超巡回性に関する結果を一般化すること。
• 任意の $r \in \mathbb{N}$ に対して、タプル $(B_w, \dots, B_w^r)$ の $d$-$\mathscr{F}$ 性を用いて $\mathscr{F}$-重み付き後退シフトを特徴付けること。
• ヒルバート空間上に混合型線形作用素 $T$ を構成し、$(T, T^2)$ が一般には $d$-シンデティックでないことを示すことで、この現象が重み付きシフトを超えて一般化されないことを示すこと。
• シンデティック集合に含まれるフィルター $\mathscr{F}$ について、再帰的超巡回性と $d$-$\mathscr{F}$ なタプルの相互作用を分析すること。
• ラマージの理論の道具を用いて、フィルター構造とその力学的意味の両方を分析すること。
• 重み付きシフトの枠組みを用いて、シンデティック性が再帰的超巡回性を導く条件を探索すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き後退シフト $B_w$ が $\mathscr{F}$-重み付き超巡回的であるための必要十分条件は何か？ これは、任意の $r \in \mathbb{N}$ に対して $(B_w, \dots, B_w^r)$ が $d$-$\mathscr{F}$ であることと同値である。
• RQ2 重み付きシフトで観察される非交差超巡回性の現象は、一般の線形作用素へ拡張可能か？
• RQ3 フィルター $\mathscr{F}$ がシンデティック集合の家族に含まれる場合、再帰的超巡回性と $d$-$\mathscr{F}$ なタプルの関係は何か？
• RQ4 重み付きシフトの設定において、軌道の交差のシンデティック性が再帰的超巡回性を導くために必要な条件は何か？

主な発見

• フィルター $\mathscr{F}$ が余ファイニット集合を真に含む場合、任意の $r \in \mathbb{N}$ に対して $B_w$ が $\mathscr{F}$-重み付き後退シフトであることと、$(B_w, \dots, B_w^r)$ が $d$-$\mathscr{F}$ であることの同値性が成り立つ。
• ヒルバート空間上に、$(T, T^2)$ が $d$-シンデティックでない混合型作用素 $T$ が存在する。これは、この現象が重み付きシフトを超えて一般化されないことを示している。
• シンデティック集合に含まれるフィルター $\mathscr{F}$ に対しては、再帰的超巡回性と $d$-$\mathscr{F}$ なタプルの関係が存在するが、その正確な条件はフィルターの構造に依存する。
• 重み付きシフトの枠組みにおいて、軌道の交差のシンデティック性が再帰的超巡回性を自動的に導くとは限らないが、特定のフィルター条件がこの含意を保証する。