[論文レビュー] Disjunctive Probabilistic Modal Logic is Enough for Bisimilarity on Reactive Probabilistic Systems

Marco Bernardo, Marino Miculan|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、否定や連言を必要とせず、下界を伴う確率的モダリティと論理和を備えた選言的確率的モダリスティック論理が、反応的確率的システムにおける確率的バイシミリティを特徴付けるのに十分であることを証明している。主な貢献は、反応的確率的木を用いた完全抽象的かつコンパクトな意味論であり、これにより木の高さに従って帰納的に区別式を構成できる。

ABSTRACT

Larsen and Skou characterized probabilistic bisimilarity over reactive probabilistic systems with a logic including true, negation, conjunction, and a diamond modality decorated with a probabilistic lower bound. Later on, Desharnais, Edalat, and Panangaden showed that negation is not necessary to characterize the same equivalence. In this paper, we prove that the logical characterization holds also when conjunction is replaced by disjunction, with negation still being not necessary. To this end, we introduce reactive probabilistic trees, a fully abstract model for reactive probabilistic systems that allows us to demonstrate expressiveness of the disjunctive probabilistic modal logic, as well as of the previously mentioned logics, by means of a compactness argument.

研究の動機と目的

• 論理的特徴付けにおいて連言を代替するのに論理和が使用可能かどうか、否定を再導入せずに反応的システムにおける確率的バイシミリティを特徴付けるかを検討する。
• 反応的確率的プロセスにおけるバイシミリティに対して、選言的論理 PML∨ が表現的に完全であることを確立する。
• 完全抽象的かつコンパクトな意味論を用いて、確率的モダリスティック論理の表現力を示す、よりシンプルな帰納的証明技法を提供する。
• 反応的確率的設定において、否定と連言の欠如が表現力を低下させないことを示す。

提案手法

• 反応的確率的システムの標準的かつ完全抽象的な意味論として、反応的確率的木（RPTs）を導入する。
• 圏論的手法による標準的構成を用いて、二つの状態がバイシミリティであることは、それらが同じ RPT に写像されることと同値であることを証明する。
• RPT のコンパクト性を確立する：二つの無限大木が等しいことは、それらのすべての有限近似が等しいことと同値である。
• 確率的下界と論理和を用いて、結合論理を模倣する方法で、木の高さに従って帰納的に PML∨ 内の区別式を構成する。
• コンパクト性の議論を用いて、二つの有限 RPT が異なる場合、その木の高さに比例する深さの PML∨ の論理式がそれらを区別できることを示す。
• 同様の技法を PML¬∧ および PML∧ の表現力の再証明に適用し、主結果を超えて一般性を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反応的システムにおける確率的バイシミリティを特徴付けるために、否定や連言を必要としない選言的確率的モダリスティック論理は十分か？
• RQ2 帰納的推論が可能であるような、反応的確率的プロセスの完全抽象的かつコンパクトな意味論は存在するか？
• RQ3 論理和と確率的下界のみを用いて、結合論理の表現力を保持できるか？
• RQ4 論理から否定が欠落している場合、反応的設定において非バイシミリティなプロセスを区別する能力に影響を与えるか？

主な発見

• 選言的確率的モダリスティック論理（PML∨）は、反応的確率的システムにおける確率的バイシミリティを特徴付けるのに十分である。
• PML∨ は、任意の二つの非バイシミリティな有限反応的確率的木を、その木の高さに比例する深さの論理式で区別できる。
• PML∨ 内の区別式の構成は、確率的下界を段階的に増加させることで、論理和と累積確率和を用いて結合論理を模倣する。
• 反応的確率的木の意味論は完全抽象的かつコンパクトであり、有限近似を通じて論理的区別が可能である。
• 同様の証明技法により、従来の研究対象であった PML¬∧ および PML∧ の表現力について、よりシンプルで直接的な証明が得られる。
• 本結果は、反応的確率的設定において、論理和と結合論理がバイシミリティ特徴付けに関して互いに定義可能であることを示しており、非確率的システムとは異なっている。