[論文レビュー] Disordered Field Theory in $d=0$ and Distributional Zeta-Function

B. F. Svaiter, N. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Theoretical and Computational Physics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分布的ゼータ関数を用いて、ゼロ次元の不規則性を有する $\lambda\varphi^4$ モデルの平均自由エネルギーを数学的に厳密に計算する手法を提示する。メリン変換と解析接続を活用することで、平均自由エネルギーは整数モーメントの級数と、任意に小さくできる剰余項に表現され、整数モーメントの解析接続を必要としない標準的レプリカ法の代替となる厳密な手法を提供する。

ABSTRACT

Recently we introduced a new technique for computing the average free energy of a system with quenched randomness. The basic tool of this technique is a distributional zeta-function. The distributional zeta-function is a complex function whose derivative at the origin yields the average free energy of the system as the sum of two contributions: the first one is a series in which all the integer moments of the partition function of the model contribute; the second one, which can not be written as a series of the integer moments, can be made as small as desired. In this paper we present a mathematical rigorous proof that the average free energy of one disordered $λφ^{4}$ model defined in a zero-dimensional space can be obtained using the distributional zeta-function technique. We obtain an analytic expression for the average free energy of the model.

研究の動機と目的

• 不規則性を有する系における平均自由エネルギーを計算するための、レプリカ法の数学的厳密な代替手法を提供すること。
• 平均自由エネルギーが原点における分布的ゼータ関数の導関数から生じる枠組みを確立すること。
• 平均自由エネルギーを整数モーメントの級数と制御可能な剰余項に分解すること。
• 剰余項が任意に小さくできることが示され、収束性と物理的妥当性が保証されること。
• 零次元の $\lambda\varphi^4$ モデルに対してこの手法を検証し、高次元または無限次元系への形式的拡張を示すこと。

提案手法

• 不規則性分布 $\mu(h)$ における積分を用いて、分配関数 $Z(h)$ とパrameter $a$ を組み合わせた分布的ゼータ関数 $\Phi(s; a)$ を定義する。
• メリン変換を用いて $\Phi(s; a)$ を、$\frac{a^{k+s}}{k!(k+s)}\mathbb{E}[Z^k]$ を含む級数として表現し、$\operatorname{Re}(s) > -1$ の範囲で解析接続を行う。
• $\Gamma(s)s = \Gamma(s+1)$ の恒等式を用いて級数を再パrameter化し、$s=0$ における導関数を分離する。
• $-\frac{d}{ds}\Phi(s; a)\big|_{s=0^+}$ を計算して平均自由エネルギーを抽出し、整数モーメントの和とオイラーの定数 $\gamma$ を含む対数補正項が得られる。
• 寄与を二つの部分に分離する：整数モーメントの級数と、$\frac{1}{Z(0)}\exp(-Z(0))$ で有界な剰余項 $R(a)$。
• 単調収束定理と補題1.4を用いて、和と積分の交換を正当化し、収束性と正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則性を有する系の平均自由エネルギーは、整数モーメントの解析接続を必要としない数学的厳密な手法で導出可能か？
• RQ2 原点における導関数が平均自由エネルギーを符号化する分布的ゼータ関数が存在するか？
• RQ3 非整数モーメントの挙動に起因する寄与を分離・有界化でき、$Z(h) \to 0$ の場合でも手法が有効であることが保証されるか？
• RQ4 平均自由エネルギーを整数モーメントの収束級数と、任意に小さくできる剰余項に表現可能か？
• RQ5 分布的ゼータ関数技法は、分配関数が消えたり発散したりする場合にどのように対処するか？

主な発見

• 零次元の $\lambda\varphi^4$ モデルの平均自由エネルギーは、$F_q = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k!k} \mathbb{E}[Z^k] - \gamma + R(1)$ として数学的に厳密に表現され、$|R(1)| \leq \frac{1}{Z(0)}\exp(-Z(0))$ を満たす。
• $a$ を十分に大きく選ぶことで、剰余項 $R(a)$ を任意に小さくできる。$Z(0)$ がゼロから離れている限り、級数が自由エネルギーを支配することが保証される。
• 標準的レプリカ法とは異なり、整数モーメントの解析接続を必要とせず、代わりにメリン変換とゼータ関数の解析接続を用いる。
• 分布的ゼータ関数の $s=0$ における導関数が平均自由エネルギーを与え、級数は $Z(h) \to \infty$ の非正則性を捉え、剰余項は $Z(h) \to 0$ の挙動を記述する。
• 不規則性分布 $\mu$ がコンパクトでない場合であっても、$Z(0)$ がゼロから離れている限り、手法は有効である。
• 結果として、分布的ゼータ関数が不規則性を有する系における平均自由エネルギーを計算する数学的に妥当な枠組みを提供することが確認され、モーメント寄与と残差補正の明確な分離がなされた。