[論文レビュー] Dispelling Rayleigh's Curse

J. Řeháček, Martin Paùr+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Advanced Fluorescence Microscopy Techniques参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、点拡散関数（PSF）の微分を正規直交化した測定を用いることで、光画像におけるレイリーの呪いを克服する体系的な手法を提案する。この手法により、サブレイリー二点分解能において量子Cramér-Rao下界に到達する。主な結果は、微小な分離距離において、PSFの1階微分への1回の射影のみで、すべての利用可能なフィッシャー情報量にアクセスでき、強度測定のみでは発散する推定分散の問題が解消されることである。

ABSTRACT

We devise a systematic method to determine the Fisher information required for resolving two incoherent point sources with a diffraction-limited linear imaging device. The resulting Cramér-Rao bound gives the lowest variance achievable for an unbiased estimator. When only intensity in the image plane is recorded, this bound diverges as the separation between the sources tends to zero, an effect which has been dubbed as Rayleigh's curse. However, this curse can be lifted using suitable coherent measurements. In particular, we determine a class of measurements that can be easily implemented as projections on the orthogonalised derivatives of the point spread function of the system.

研究の動機と目的

• 光源の分離が0に近づくと推定分散が発散するという、強度測定のみに依存する光学分解能の根本的限界（レイリーの呪い）を解消すること。
• 非定常点光源の推定精度の量子限界に到達する、一般で実装可能なコherent測定法を構築すること。
• 特にPSFの微分を正規直交化した空間モードを同定し、それらが一定のフィッシャー情報量を提供し、最適な分解能を実現すること。
• 微小な分離距離の極限において、PSFの1階微分への1回の射影が、すべての利用可能な情報を抽出できることを示すこと。

提案手法

• 未知の分離距離を有する2つの非定常点光源の画像平面での場を密度行列としてモデル化し、量子状態形式を用いて画像問題を定式化する。
• フィッシャー情報量から導出されるCramér-Rao下界（CRLB）を用い、光源分離の任意の不偏推定器の最小分散を定量化する。
• 最適な測定基底をPSFに関して正規直交化された多項式として特定する。具体的には、グラム・シュミットに類似した手続きにより正規直交化されたPSFの微分を用いる。
• PSFの微分を正規直交化した空間モードへの射影として測定モードを構築し、最大限の情報抽出を保証する。
• 対称的PSF（例：ガウス型、sinc型）に対して、これらのモードがそれぞれエルミート・ガウス関数またはベッセル関数であることを示し、一定のフィッシャー情報量を達成することを示す。
• 場のフーリエ変換により、空間光変調器による代替実装が可能であり、特に分離距離が小さい場合に、スペクトルの虚部が最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コherent測定が、回折限界系において強度測定のみで発生する推定分散の発散（レイリーの呪い）を克服できるか？
• RQ2 2つの非定常点光源の分離を推定する際に、量子Cramér-Rao下界に到達する空間測定のクラスは何か？
• RQ3 任意の対称的点拡散関数に対して、最適な測定モードを体系的に構築する方法は何か？
• RQ4 微小な分離距離の極限において、PSFの微分への1回の射影が、全量子フィッシャー情報量に到達できるか？
• RQ5 空間的対称性と正規直交多項式が、最適な測定基底を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ガウス型PSFの場合、最適な測定モードはPSFに関して正規直交化されたエルミート・ガウス多項式であり、一定のフィッシャー情報量1/3を達成する。
• sinc型PSFの場合、最適なモードは第一種ベッセル関数であり、特に $ \Phi_n(x) = \sqrt{n+1/2} \frac{J_{n+1/2}(x)}{\sqrt{x}} $ で表され、全フィッシャー情報量 $ \mathcal{F}_{\mathfrak{s}} = 1/3 $ を達成する。
• 微小な分離距離の極限において、PSFの1階微分への1回の射影（例：最初のベッセルモード）が、すべての利用可能なフィッシャー情報量にアクセスでき、最適推定に十分である。
• 強度プロファイルのフーリエ変換の虚部からのフィッシャー情報量が、微小な分離距離において最適であり、量子CRLBと一致する。
• PSF適応モードを用いることで、標準的なエルミート・ガウス射影と比較して、最適性能を達成するための有効な射影数が顕著に減少する。
• 分離距離が0に近づく極限において、フーリエ正弦変換からのフィッシャー情報量のみで量子限界に到達し、位相に依存する測定が強度測定の制限を克服できることを示している。