[論文レビュー] Dispersion and controllability for the Schrödinger equation on negatively curved manifolds

Nalini Anantharaman, Gabriel Rivière|Jul 25, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、半古典的解析を用いて、コンパクトな負に曲がった多様体上のシュレーディンガー方程式に対して分散性および可制御性の性質を確立する。シュレーディンガー流における半古典的測度の伝播を分析することで、アノソフ測地線流に対して、時間平均された位置運動量分布がリウヴィル測度に収束することを示し、これにより量子遍歴性および正の測度エントロピーが得られ、スペクトルギャップ推定を用いた可制御性結果が導かれる。

ABSTRACT

We study the time-dependent Schrödinger equation $ \imath\frac{\partial u}{\partial t}=-1/2Δu,$ on a compact riemannian manifold on which the geodesic flow has the Anosov property. Using the notion of semiclassical measures, we prove various results related to the dispersive properties of the Schrödinger propagator, and to controllability.

研究の動機と目的

• アノソフ測地線流を有する多様体上の時間に依存するシュレーディンガー方程式に対して、量子遍歴性定理を拡張すること。
• シュレーディンガー方程式の解に関連する半古典的測度の測度エントロピーに対する下界を確立すること。
• 分散性およびエントロピーの下界を用いて、シュレーディンガー方程式の可制御性結果を導出すること。
• 測地線流の不変性を用いて、時間平均された位置運動量測度の漸近的分布を特徴付けること。

提案手法

• 著者らは、プランク定数 $\hbar \to 0^+$ の下で、シュレーディンガー方程式の解の漸近的分布を半古典的測度を用いて記述する。
• 解の時間平均観測量 $ \int_0^T \langle e^{it\Delta/2}u_\hbar, \mathrm{Op}_\hbar(a) e^{it\Delta/2}u_\hbar \rangle dt $ を分析し、余接 bundle $T^*M$ 上の極限測度を定義する。
• エゴロフの定理を適用して、極限測度が測地線流 $g^s$ に関して不変であることを示す。
• 測地線流のアノソフ性により強い混合性が保証され、これが $S^*M$ 上のリウヴィル測度への測度の等分布性の証明に用いられる。
• アンタナルマンおよびノンネンマッチャーの固有関数に関する結果を活用し、半古典的測度の正の測度エントロピーからエントロピー推定値を導出する。
• スペクトルギャップ推定値と測地線流の構造を組み合わせることで、可制御性結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アノソフ測地線流を有する多様体に対して、シュレーディンガー方程式の解の時間平均された位置運動量分布は、$S^*M$ 上のリウヴィル測度に等分布するか？
• RQ2 このような系に対して、極限半古典的測度の測度エントロピーに正の下界を確立できるか？
• RQ3 負に曲がった多様体上でのシュレーディンガー伝搬子の分散性は、方程式の可制御性とどのように関係するか？
• RQ4 測地線流のアノソフ性は、半古典的極限において、等分布性およびエントロピーをどの程度強制するか？

主な発見

• $L^2$ 初期データと関連する時間平均位置運動量測度 $\nu_n$ は、アノソフ測地線流の下で、単位余接 bundle $S^*M$ 上のリウヴィル測度に弱-*収束する。
• 極限半古典的測度 $\mu(t)$ は測地線流に関して不変であり、正の測度エントロピーを持つ。これは固有関数理論の結果を時間に依存する設定に拡張したものである。
• 任意の初期データ列 $u_\hbar$ に対して、関連する半古典的測度 $\mu$ は $h(\mu) \geq c > 0$ を満たす。ここで $c$ は多様体の曲率に依存する正の定数である。
• 負に曲がった多様体上でのシュレーディンガー伝搬子の分散性は、時間平均観測量におけるスペクトルギャップをもたらし、可制御性を示唆する。
• 可制御性結果は、エントロピーの下界および測地線流の遍歴性から導かれる。これにより、任意の初期状態に対して有限時間内に制御が可能であることが保証される。
• 本稿では、シュニレルマンの定理を時間に依存する設定に一般化し、『ほとんどすべて』の解が $​\hbar^{-1}$ のオーダーの時間区間内で位相空間で等分布することを示している。