[論文レビュー] Dispersion and localization in structured Rayleigh beams

A. Piccolroaz, A. B. Movchan|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、回転慣性、初期応力、Winkler基礎支持を有する構造的レイリー梁における分散波挙動および局在化を、カップルスストレス材料との数学的類似性を用いて調査する。閉形式の分散方程式を導出し、回転慣性が広い低周波数帯ギャップと強い局在化を引き起こすことを示し、波のフィルタリングおよび弾性波シールド応用への可能性を示す。

ABSTRACT

This paper brings a comparative analysis between dynamic models of couple-stress elastic materials and structured Rayleigh beams on a Winkler foundation. Although physical phenomena have different physical origins, the underlying equations appear to be similar, and hence mathematical models have a lot in common. In the present work, our main focus is on the analysis of dispersive waves, band-gaps and localized waveforms in structured Rayleigh beams. The Rayleigh beam theory includes the effects of rotational inertia which are neglected in the Euler--Bernoulli beam theory. This makes the approach applicable to higher frequency regimes. Special attention is given to waves in pre-stressed Rayleigh beams on elastic foundations.

研究の動機と目的

• 回転慣性および初期応力を有するレイリー梁における分散波伝播およびバンドギャップ形成を分析すること。
• レイリー梁とカップルスストレス弾性材料との間の数学的類似性を確立し、共通の波動ダイナミクスを共有すること。
• 回転慣性および弾性基礎が周期的ビーム系における波の局在化および群速度に与える影響を調査すること。
• 構造的レイリー梁における準周期的グリーン関数および分散方程式を導出し、解くこと。
• このような系が弾性波フィルタリングおよび動的シールド応用に果たす可能性を検討すること。

提案手法

• 初期応力およびWinkler基礎を有するプレストレスレイリー梁の支配方程式を定式化し、並進および回転慣性を組み込む：$EI\thinspace v^{\text{iv}} - P\thinspace v'' + \rho A\thinspace \bar{v} - \rho I\thinspace \bar{v}'' + \beta v = 0$。
• レイリー梁方程式とカップルスストレス材料における横方向せん断波方程式との間の形式的数学的同等性を確立し、共通する高次元分散項を強調する。
• 次元なしの質量$\overline{M}$および慣性モーメント$\overline{I}_M$を用いて、レイリー梁内の周期的マルチマス系の閉形式分散方程式を導出する。
• 並進および回転慣性効果の両方を考慮した準周期的グリーン関数を構築し、欠陥モードおよび局在波形の解析を可能にする。
• 分散方程式を数値的に解き、分散図を生成し、バンドギャップ構造および群速度の挙動を分析する。
• 分散方程式を$Z = \cos(Kd)$の有理関数形にすることで、周期的系におけるバンド構造の正確かつ効率的な解法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レイリー梁における回転慣性は、低周波数帯ギャップの形成および幅にどのように影響するか？
• RQ2 初期応力およびWinkler基礎の剛性は、構造的レイリー梁の分散特性をどのように規定するか？
• RQ3 並進および回転慣性の併存効果が、周期的ビーム系における群速度および波の局在化に与える影響は何か？
• RQ4 レイリー梁とカップルスストレス材料との間の数学的類似性は、波の分散および局在化の解析にどのように寄与するか？
• RQ5 回転慣性を有するレイリー梁に対して、閉形式の準周期的グリーン関数を構築できるか？また、それらは欠陥モード解析をどのように可能にするか？

主な発見

• レイリー梁における回転慣性は、特に高周波数領域において分散曲線の著しい平坦化を引き起こし、群速度の低下を示唆する。
• 2番目のバンドでは、回転慣性を増加させると群速度および曲率の符号が反転するため、オイラー＝ベルヌーイ梁に見られない複雑な波動ダイナミクスが存在することが示される。
• 回転慣性が支配的になると、広い低周波数帯ギャップが形成される。質量が無視できるが回転慣性が非ゼロである場合に顕著に現れる。
• 分散方程式は$\cos(Kd)$の有理関数として表現可能であり、周期的系におけるバンド構造の正確かつ効率的な解法を可能にする。
• 欠陥モードおよび局在波形は停止帯で観察され、回転慣性が大きくなるほど局在化強度が増加する。
• 特定の初期応力値$P = EA$において、系は非分散的挙動を示す。これはカップルスストレス材料における$J = 2\rho\ell^2$における非分散性と類似している。