[論文レビュー] Dispersion-free probability measures are incoherent

Alessio Benavoli, Alessandro Facchini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、文脈にかかわらず特定の結果に確率1を割り当てる分散なしの確率測度——つまり、量子力学においては不合理であると主張している。賭けの枠組みを用いて、すべての次元（n=2を含む）に適用可能な一般化されたグレーゾン型定理を証明し、唯一有効な確率測度は射影子と密度行列のトレースから得られるものであることを示している。

ABSTRACT

Based on a gambling formulation of quantum mechanics, we obtain that dispersion-free probabilities are actually not valid, or rational, probabilities for quantum mechanics, and hence should be excluded from consideration. More generally, we derive a Gleason-type theorem that holds for any dimension n of a quantum system, and in particular for n = 2, stating that the only valid probability assignments are exactly the ones that are definable as the trace of the product of a projector and a density matrix operator.

研究の動機と目的

• 量子力学における分散なしの確率測度の合理性に挑戦すること。
• 賭けに基づく定式化を用いて、量子系における有効な確率割り当ての基礎を確立すること。
• グレーゾンの定理を、例外なしにすべての次元、特にキュービット（n=2）を含む次元に一般化すること。
• トレースに基づかない確率測度を、量子確率理論において無効なものとして除外すること。

提案手法

• 量子確率を賭けの枠組みとして定式化し、量子結果に対する賭けをモデル化する。
• 合理的な確率割り当てを、賭けの場面で確実な損失（Dutch book）を回避するものとして定義する。
• 射影子と密度作用素の構造を用いて、有効な確率測度を特徴付ける。
• 唯一、密度作用素ρと射影子Pに対してTr(ρP)として表せる測度が整合的であることを証明する。
• 分散なしの測度がDutch bookを引き起こすことを示し、整合性に反することを立証する。
• 結果をn=2を含むすべての次元に拡張し、例外がないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 賭けの解釈に基づく量子力学において、分散なしの確率測度は整合的か？
• RQ2 例外なしにすべての次元、特にn=2においても、グレーゾン型定理を確立できるか？
• RQ3 確実な損失を回避するためには、確率割り当てが満たすべき条件は何か？
• RQ4 なぜトレースに基づく確率測度だけが、量子理論において合理的と見なせるのか？
• RQ5 賭けの枠組みは、量子確率を定義する際に密度作用素が必要であることをどのように正当化するのか？

主な発見

• 分散なしの確率測度は、賭けの場面で確実な損失を引き起こすため、不合理である。
• 密度作用素ρと射影子Pに対してTr(ρP)の形で表せる確率割り当てのみが、量子力学において整合的かつ合理的である。
• 本論文は、n=2を含むすべての次元に適用可能で、追加の仮定を必要としないグレーゾン型定理を確立している。
• 賭けの定式化は、標準的な量子確率の法則の基礎的根拠を提供する。
• トレースに基づかない確率測度は、Dutch book基準に基づく整合性の欠如により、有効でないと排除される。
• この結果は、量子確率がすべての系の次元において、本質的に密度作用素の形式主義に結びついていることを確認している。