[論文レビュー] Dispersion of inertial particles in cellular flows in the small-Stokes, large-P\\'eclet regime

A. Renaud, Jacques Vanneste|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Particle Dynamics in Fluid Flows参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小スティークス数、大ペクレ数の範囲（$\mathrm{St} \ll 1$, $\mathrm{Pe} \gg 1$）で $\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$ である場合の、セルラーフローにおける慣性粒子の有効拡散係数を、均質化法と一致漸近法を用いて導出する。重粒子（$\beta < 1$）は $\mathrm{St}^{1/2}/\log(\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe})^{1/2}$ のスケーリングで拡散が増強され、軽粒子（$\beta > 1$）は指数的に抑制された拡散を示すことが示され、数値シミュレーションによって検証されている。

ABSTRACT

We investigate the transport of inertial particles by cellular flows when advection dominates over inertia and diffusion, that is, for Stokes and P\\'eclet numbers satisfying $\\mathrm{St} \\ll 1$ and $\\mathrm{Pe} \\gg 1$. Starting from the Maxey--Riley model, we consider the distinguished scaling $\\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe} = O(1)$ and derive an effective Brownian dynamics approximating the full Langevin dynamics. We then apply homogenisation and matched-asymptotics techniques to obtain an explicit expression for the effective diffusivity $\\overline{D}$ characterising long-time dispersion. This expression quantifies how $\\overline{D}$, proportional to $\\mathrm{Pe}^{-1/2}$ when inertia is neglected, increases for particles heavier than the fluid and decreases for lighter particles. In particular, when $\\mathrm{St} \\gg \\mathrm{Pe}^{-1}$, we find that $\\overline{D}$ is proportional to $\\mathrm{St}^{1/2}/(\\log ( \\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe}))^{1/2}$ for heavy particles and exponentially small in $\\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe}$ for light particles. We verify our asymptotic predictions against numerical simulations of the particle dynamics.

研究の動機と目的

• 広義に拡散が支配する状況下で、粒子の慣性が長時間における拡散をどのように変化させるかを定量化すること。
• 古典的な非慣性粒子の有効拡散係数の結果（$\overline{D} \sim \mathrm{Pe}^{-1/2}$）を、小さな有限の粒子慣性を持つ場合に拡張すること。
• 特徴的なスケーリング $\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$ の下で、有効拡散係数 $\overline{D}$ の明示的な漸近式を導出すること。
• 漸近解析を用いて、重粒子では輸送が促進され、軽粒子では抑制されるという相反する挙動を説明すること。

提案手法

• 粒子の慣性運動を記述する Maxey–Riley ランジュバンモデルを用い、ストークス抵抗力と追加質量力の両方を組み込む。
• 小スティークス数、大ペクレ数の極限において、慣性と拡散の効果をバランスさせるための特徴的なスケーリング $\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$ を採用する。
• 長時間スケールでの拡散を記述する有効ブラウン運動モデルを導出するために、均質化法を適用する。
• 一致漸近法と積分的漸近法を用いて有効拡散係数を評価し、特に拡散係数比を支配する関数 $Z(\alpha)$ の挙動を分析する。
• 重粒子と軽粒子に対応する $\alpha \to \infty$ および $\alpha \to -\infty$ の両方の極限において、$Z(\alpha)$ の明示的な漸近展開を導出する。
• 全ランジュバン運動の数値シミュレーションと、有効拡散係数の直接サンプリングを用いて、解析的予測の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小スティークス数、大ペクレ数の下で $\mathrm{St} \ll 1$ かつ $\mathrm{Pe} \gg 1$ であり、$\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$ である場合に、粒子の慣性はセルラーフローにおける有効拡散係数にどのように影響を与えるか？
• RQ2 なぜ重粒子は拡散が増強されるのに対し、軽粒子は拡散が抑制されるのか？
• RQ3 慣性領域において、有効拡散係数がスティークス数とペクレ数にどのように依存するかの関数的依存性は何か？
• RQ4 重粒子の拡散係数の増強は、漸近解析によって定量的に捉えることができるか？
• RQ5 横方向の流れのずれ項 $b(\psi)$ の符号が、特に $b(\psi)$ が単調でない流れにおいて、長時間スケールでの拡散挙動に影響を与えるか？

主な発見

• 重粒子（$\mathrm{St} \gg \mathrm{Pe}^{-1}$）では、有効拡散係数が $\overline{D} \sim \mathrm{St}^{1/2} / \log(\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe})^{1/2}$ のスケーリングに従い、非慣性系に比べて顕著な増強が見られる。
• 軽粒子（$\mathrm{St} \gg \mathrm{Pe}^{-1}$）では、有効拡散係数が $\overline{D} \sim \mathrm{e}^{-\Upsilon \cdot \mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe}}$ と指数的に減少し、$\Upsilon \approx 0.655$ となるため、拡散が強く抑制される。
• 有効拡散係数比 $\overline{D}(\mathrm{Pe}, \alpha)/\overline{D}(\mathrm{Pe}, 0)$ は関数 $1/Z(\alpha)$ によって支配され、これは $\alpha \to \infty$ および $\alpha \to -\infty$ の両方の極限において漸近的に導出されている。
• $\alpha \to \infty$ における $Z(\alpha)$ の漸近展開には対数補正項が含まれており、これは正確な数値評価に不可欠であり、$\alpha$ とともに緩やかに減少する。
• 全ランジュバン運動の数値シミュレーションにより、解析的予測が妥当であることが確認され、$\overline{D}$ の導出された漸近式が正当化された。
• 一部の流れでは $b(\psi)$ が負であることがあり、これにより重粒子の拡散係数の抑制が理論的に可能である可能性があるが、本研究ではそのような流れは同定されなかった。