[論文レビュー] Dispersion Relations and Wave Operators in Self-Similar Quasi-Continuous Linear Chains

Thomas M. Michelitsch, Gérard A. Maugin+3 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Apr 5, 2009

Theoretical and Computational Physics被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、非局所的でべき則スケーリングされた調和的相互作用を持つ自己相似的準連続的線形鎖モデルを導入し、その波動作用素はワイエルシュトラス・マンデルブロ関数で記述される分散関係を持つ。連続体近似により、振動子密度はべき則の周波数依存性を示し、低周波数領域では $\rho(\omega) \propto \omega^{\frac{2}{\delta}-1}$ となる。これは、マルチスケール系におけるフラクタル的かつ自己相似的ダイナミクスを示している。

ABSTRACT

We construct self-similar functions and linear operators to deduce a self-similar variant of the Laplacian operator and of the D'Alembertian wave operator. The exigence of self-similarity as a symmetry property requires the introduction of non-local particle-particle interactions. We derive a self-similar linear wave operator describing the dynamics of a quasi-continuous linear chain of infinite length with a spatially self-similar distribution of nonlocal inter-particle springs. The self-similarity of the nonlocal harmonic particle-particle interactions results in a dispersion relation of the form of a Weierstrass-Mandelbrot function which exhibits self-similar and fractal features. We also derive a continuum approximation which relates the self-similar Laplacian to fractional integrals and yields in the low-frequency regime a power law frequency-dependence of the oscillator density.

研究の動機と目的

• 特徴的な長さスケールを持たない自己相似的かつスケール不変な系における波動ダイナミクスの数学的に取り扱いやすいモデルの構築を目的とする。
• 非局所的粒子間相互作用を用いて、ラプラシアンおよびダランベールの波動作用素の自己相似的変種を導出することを目的とする。
• 自己相似的ラプラシアンと分数階積分の間の連続体近似を確立することを目的とする。
• 得られた分散関係および低周波数領域における振動子密度の解析を目的とする。
• 自己相似性を対称性の原理として用いることで、フラクタル的およびマルチスケール材料における波動伝播のモデリングの基盤を提供することを目的とする。

提案手法

• 自己相似性をアフィン関数方程式 $\phi(Nh) = \Lambda \phi(h)$ により定義し、$\Lambda = N^\delta$ とすることで自己相似関数を構築する。
• 自己相似関数に作用する線形作用素 $\hat{A}_N$ の固有値問題を通じて、自己相似的ラプラシアン作用素を導出する。
• 連続体極限において、自己相似的ラプラシアンを分数階積分作用素として表現し、リーマン・リウビル分数階微積分と関連付ける。
• 自己相似的調和スプリングを有する準連続的鎖の運動方程式を定式化し、自己相似的波動方程式を導出する。
• 分散関係をワイエルシュトラス・マンデルブロ関数の形 $\omega^2(kh) \propto \sum_{s \in \mathbb{Z}} N^{-s\delta} (1 - \cos(N^s kh))$ として得る。
• 低周波数近似を適用し、準連続的極限 $N = 1 + \epsilon$、$\epsilon \ll 1$ の下で、振動子密度のべき則的挙動 $\rho(\omega) \propto \omega^{\frac{2}{\delta}-1}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的かつスケール不変な相互作用を持つ線形鎖において、自己相似的ラプラシアンおよび波動作用素をどのように構築できるか。
• RQ2 べき則スケーリングされたスプリングを有する自己相似的準連続的鎖において、分散関係はどのような形をとるか。
• RQ3 低周波数領域における振動子密度はどのように振る舞い、周波数との間でどのような関数的依存関係を示すか。
• RQ4 自己相似的波動作用素は、ユークリッド空間に埋め込まれたフラクタル的部分空間における波動伝播を記述するために、どの程度一般化可能か。
• RQ5 パrameter $\delta$ は、分散関係および振動子密度のフラクタル的・自己相似的特徴を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• 分散関係はワイエルシュトラス・マンデルブロ関数の形をとり、特定のパrameter範囲では正確な自己相似性とフラクタル的特徴を示す。
• 低周波数領域では、分散関係は $\bar{\omega}(k) \approx \text{Const} \cdot |k|^{\delta/2}$ のべき則に従い、近似式 $\omega^2(kh) \approx \frac{(h|k|)^\delta}{\epsilon} C$ から導出される。
• 低周波数極限における振動子密度は $\rho(\omega) = \frac{2}{\pi \delta h} \left( \frac{\epsilon}{C} \right)^{1/\delta} \omega^{\frac{2}{\delta}-1}$ で与えられ、$0 < \delta < 2$ の範囲で有効である。
• べき則の指数 $\frac{2}{\delta} - 1$ は、$\delta$ が 2 から 0 に変化するにつれて 0 から $\infty$ に変化し、周波数がゼロに近づくと振動子密度が消失することを示唆する。
• 連続体極限における自己相似的ラプラシアンは分数階積分として表現され、このモデルが分数階微積分およびリーマン・リウビル作用素と関連づけられることを示している。
• 振動子密度の近似式 (54) は、$N = 1 + \epsilon$ かつ $\epsilon \ll 1$ の準連続的極限でのみ有効であり、このとき $N^s$ は実質的に連続的になる。