[論文レビュー] Dispersionless integrable hierarchies and GL(2,R) geometry

E. V. Ferapontov, Boris Kruglikov|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、射影化された余接 bundle 内の有理正規曲線によって定義される、反図形的 GL(2,R) 構造—幾何構造—が、dKP ハイアラルキーなどの分散なし可積分ハイアラルキーに支配されることを確立する。主な結果は、反図形的 GL(2,R) 構造を定義する Wünschmann 条件の一般局所解が、3変数の任意関数 2n−4 個に依存することであり、これらの条件の可積分性を証明する。

ABSTRACT

Paraconformal or $GL(2)$ geometry on an $n$-dimensional manifold $M$ is defined by a field of rational normal curves of degree $n-1$ in the projectivised cotangent bundle $\mathbb{P} T^*M$. Such geometry is known to arise on solution spaces of ODEs with vanishing Wünschmann (Doubrov-Wilczynski) invariants. In this paper we discuss yet another natural source of $GL(2)$ structures, namely dispersionless integrable hierarchies of PDEs (for instance the dKP hierarchy). In the latter context, $GL(2)$ structures coincide with the characteristic variety (principal symbol) of the hierarchy. Dispersionless hierarchies provide explicit examples of various particularly interesting classes of $GL(2)$ structures studied in the literature. Thus, we obtain torsion-free $GL(2)$ structures of Bryant that appeared in the context of exotic holonomy in dimension four, as well as totally geodesic $GL(2)$ structures of Krynski. The latter, also known as involutive $GL(2)$ structures, possess a compatible affine connection (with torsion) and a two-parameter family of totally geodesic $α$-manifolds (coming from the dispersionless Lax equations), which makes them a natural generalisation of the Einstein-Weyl geometry. Our main result states that involutive $GL(2)$ structures are governed by a dispersionless integrable system. This establishes integrability of the system of Wünschmann conditions.

研究の動機と目的

• 解空間上の GL(2,R) 構造の自然な源泉として、分散なし可積分 PDE ハイアラルキーを特定すること。
• このようなハイアラルキーの特徴的多様体（主記号）が GL(2,R) 構造と一致することを示すこと。
• 反図形的 GL(2,R) 構造が、dKP、ユニバーサルハイアラルキー、Adler-Shabat 三重組といった可積分系から自然に生じることを確立すること。
• 一般局所解が 3 変数の 2n−4 個の任意関数に依存することを示して、Wünschmann 条件の可積分性を証明すること。
• このような構造が適合するアフィン接続を有することを示し、Einstein-Weyl 幾何学を一般化し、次元 4 の特異なホロノミーと関連付けること。

提案手法

• λ が PGL(2,R) に作用するのと同時に ω(λ) がスケーリングにより変化する多項式 1 形式 ω(λ) = ω₀ + λω₁ + ⋯ + λⁿ⁻¹ωₙ₋₁ を用いた反図形的 GL(2,R) 構造のパrametrization。
• 分散なし PDE ハイアラルキー（例：dKP）の特徴的多様体を用いて、ω(λ) = 0 の零点集合として GL(2,R) 構造を定義すること。
• 自由分解技術を用いて反図形的 GL(2,R) 構造の整合性条件を導出し、系を形式的に可積分な PDE 系に還元すること。
• 特に完全測地的かつ torsion-free の場合に、GL(2,R) 構造に適合する標準的なアフィン接続（torsion を含む・含まない両方）を構成すること。
• Lax 表現と対称性還元を用いて、dKP、ユニバーサルハイアラルキー、Adler-Shabat 三重組に付随する接続の明示的 Christoffel 記号を導出すること。
• Lax 表現を用いて、2 パラメータ族の完全測地的 α-多様体を生成し、Einstein-Weyl 幾何学を一般化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散なし可積分ハイアラルキー（例：dKP ハイアラルキー）は、その解空間上にどのように GL(2,R) 構造を生じさせるか？
• RQ2 分散なし PDE ハイアラルキーの特徴的多様体と、それが誘導する GL(2,R) 構造との正確な関係は何か？
• RQ3 反図形的 GL(2,R) 構造は、分散なし可積分系の解として特徴付けられるか？ もしそうなら、関数的自由度は何か？
• RQ4 可積分ハイアラルキーから生じる GL(2,R) 構造は適合するアフィン接続を有するか？ その幾何的性質（例：torsion、ホロノミー）は何か？
• RQ5 Wünschmann 条件の可積分性は、Lax 表現と 2 パラメータ族の α-多様体の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 反図形的 GL(2,R) 構造を定義する Wünschmann 条件の一般局所解は、3 変数の任意関数 2n−4 個に依存し、この系の可積分性を証明する。
• 分散なし可積分ハイアラルキー（例：dKP）から生じる反図形的 GL(2,R) 構造が、分散なし可積分系に支配されることを示した。
• torsion-free な Bryant 型の GL(2,R) 構造は、4 次元における dKP ハイアラルキーの特徴的多様体として自然に現れる。
• Krynski 型の完全測地的 GL(2,R) 構造は、分散なし Lax 方程式から生じ、2 パラメータ族の完全測地的 α-多様体を通じて Einstein-Weyl 幾何学を一般化する。
• dKP、ユニバーサルハイアラルキー、Adler-Shabat 三重組構造に対して、適合するアフィン接続（torsion を含む・含まない両方）の明示的公式が導出され、幾何的適合性が確認された。
• Lax 表現の存在は、2 パラメータ族の完全測地的 α-多様体の存在を保証し、これは Einstein-Weyl 構造を一般化する主要な幾何的特徴である。