[論文レビュー] Displaying Polish groups on separable Banach spaces

Valentin Ferenczi, Christian Rosendal|Institutional Repository University of Extremadura (University of Extremadura)|Oct 13, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、同値なノルム付けによって、分離可能なバナッハ空間の等長変換群としてポーランド群を実現できる条件を確立する。任意の無限大対称群 $S_{\infty}$ の非自明な中心的対合を含む閉部分群は、$c_0$、$\ell_p$、$L_p$、$C([0,1])$ といった古典的空間上に表示可能であることを証明し、任意のポーランド群 $G$ に対して、$\{-1,1\} \times G$ が分離可能なバナッハ空間 $X$ 上に表示可能であるような $X$ が存在することを示している。

ABSTRACT

A display of a topological group G on a Banach space X is a topological isomorphism of G with the isometry group Isom(X,||.||) for some equivalent norm ||.|| on X, where the latter group is equipped with the strong operator topology. Displays of Polish groups on separable real spaces are studied. It is proved that any closed subgroup of the infinite symmetric group S_\infty containing a non-trivial central involution admits a display on any of the classical spaces c0, C([0,1]), lp and Lp for 1 <=p

研究の動機と目的

• ポーランド群 $G$ が、ある同値ノルムに関して、分離可能なバナッハ空間 $X$ の等長変換群と位相的に同型となる条件を同定すること。
• バナッハ空間の同型的構造が、その上に表示可能な群から回復可能かどうかを調査すること。
• ジャロシャーの予想を拡張し、$\{-1,1\} \times G$ が分離可能なバナッハ空間上に等長変換群として実現可能となる十分条件を同定すること。
• 等長変換群の文脈における特徴的な点や点列の役割を探索すること。
• LUR、ほぼトランスティヴなノルムなどのノルム付けの性質と、等長変換群の構造との間の相互作用を検討すること。

提案手法

• 『表示』を、ある同値ノルム $\|\!\!\|\!\!\cdot\!\!\!\|\!\!\|$ に関して、$\rho(G) = \mathrm{Isom}(X, \|\!\!\|\!\!\cdot\!\!\!\|\!\!\|)$ を満たす、$G$ のトポロジカルに忠実な線形表現 $\rho: G \to GL(X)$ として定義する。
• ベレンノットのノルム付け技法を用いて、$c_0$ や他の古典的空間上に、望ましい等長変換群を実現する同値ノルムを構成する。
• グラフの自己同型群の理論を応用して、$S_{\infty}$ の部分群を $c_0$ 上の等長変換群として実現する。
• バナッハ空間内の特徴的なベクトル列を用いて、等長変換群の作用を制御し、表現の忠実性を保証する。
• 強作用位相（sot）収束および LUR ノルムの性質を用いて、望ましくない等長変換を保存してしまうようなノルム付けを除外する。
• メグレリシヴァの結果（弱作用位相と強作用位相が一致しないこと）を活用し、$C([0,1]^2)$ のような空間が、大きな等長変換群を保存する LUR 同値ノルムを持たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、ポーランド群 $G$ が分離可能なバナッハ空間 $X$ 上に表示可能となるか？
• RQ2 非自明な中心的対合を持つ任意のポーランド群 $G$ は、ある分離可能なバナッハ空間上に表示可能か？
• RQ3 すべてのポーランド群 $G$ に対して、$\{-1,1\} \times G$ が $X$ 上に表示可能となる普遍的な分離可能なバナッハ空間 $X$ が存在するか？
• RQ4 バナッハ空間に特徴的な点や点列が存在する場合、その等長変換群が離散的または可算的であることを示唆するか？
• RQ5 LUR やほぼトランスティヴ性といったノルム付けの性質が、バナッハ空間の等長変換群の構造をどの程度制約するか？

主な発見

• 非自明な中心的対合を含む $S_{\infty}$ の任意の閉部分群は、$c_0$、$C([0,1])$、$\ell_p$、$L_p$（$1 \leq p < \infty$）上に表示可能である。
• 任意のポーランド群 $G$ に対して、$\{-1,1\} \times G$ が表示可能となる分離可能なバナッハ空間 $X$ が存在する。
• $\{-1,1\}$ は任意の実バナッハ空間上に表示可能であり、円周群 $\mathbb{T}$ は任意の複素バナッハ空間上に表示可能である。
• $C([0,1]^2)$ は、弱作用位相と強作用位相が一致しないことから、元の等長変換群を含む同値 LUR ノルムをもたない。
• $L_1([0,1])$ の同値ノルム付けで、その等長変換群を保存するものについては、元のノルムのスカラー倍に限られ、元のノルムが至る所で LUR でないため、このようなノルム付けは LUR ではない。
• 特定の反射的空間（例えば、ある種の反射的空間）のような分離可能なバナッハ空間では、任意の同値ノルム付けに対して等長変換群が常にコンパクトなリー群となるため、可算無限の等長変換群は実現不可能である。