[論文レビュー] Disproof of Bell's Theorem by Clifford Algebra Valued Local Variables

Joy Christian|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 43

ひとこと要約

この論文は、クライフォード代数値をとる局所的変数を用いた局所的実在論的モデルを提案し、もつれスピン相関の量子力学的期待値を非局所性や文脈性を要せず正確に再現する。クライフォード代数積の非可換性を活用することで、モデルはCHSH不等式をツァイレルソンの上限 $2ackslashsqrt{2}$ まで違反し、多重量子値変数が用いられる場合、ベルの定理が局所的実在論を排除しないことを示している。

ABSTRACT

It is shown that Bell's theorem fails for the Clifford algebra valued local realistic variables. This is made evident by exactly reproducing quantum mechanical expectation value for the EPR-Bohm type spin correlations observable by means of a local, deterministic, Clifford algebra valued variable, without necessitating either remote contextuality or backward causation. Since Clifford product of multivector variables is non-commutative in general, the spin correlations derived within our locally causal model violate the CHSH inequality just as strongly as their quantum mechanical counterparts.

研究の動機と目的

• ベルの定理が局所的実在論が量子相関を再現できないと主張する基礎的主張に挑戦すること。
• クライフォード代数値変数を用いて、EPR-ブームススピン相関の決定論的・局所的・実在論的モデルを構築すること。
• 完全に局所的な枠組み内でCHSH不等式が量子力学的上限 $2\sqrt{2}$ まで違反できることを示すこと。
• ツァイレルソンの上限が、量子力学的仮定に特有ではなく、幾何代数的構造に起因することを主張すること。

提案手法

• モデルは幾何的に意味を持つ非可換なクライフォード代数値局所変数 $\lambda$ を用いる。
• スピン測定結果 $A_{\bf a}(\lambda)$ と $B_{\bf b}(\lambda)$ は、クライフォード代数 $Cl_{3,0}$ の要素として定義され、値 $\pm 1$ をとる。
• 結合期待値は $\mathcal{E}_{\text{h.v.}}({\bf a}, {\bf b}) = \int_{\Lambda} A_{\bf a}(\lambda) B_{\bf b}(\lambda) \, d\rho(\lambda)$ で計算され、$\rho(\lambda)$ は正規化された確率測度である。
• クライフォード積の非可換性を活用し、CHSHに類似した関数 $\mathcal{F}_{c.v.}(\boldsymbol{\xi})$ を導出し、その二乗が $8$ を上限とすることで、$|\mathcal{F}_{c.v.}(\boldsymbol{\xi})| \leq 2\sqrt{2}$ を得る。
• 遠く離れた観測量間の局所的可換性 $[A_{\bf n}(\boldsymbol{\xi}), B_{{\bf n}'}(\boldsymbol{\xi})] = 0$ を強制することで、局所性を保持する。
• 明示的な例により、非可換クライフォード代数構造のおかげで、交換子 $[A_{\bf a}, A_{\bf a'}]$ と $[B_{\bf b'}, B_{\bf b}]$ がゼロでないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライフォード代数値変数を用いて、局所的実在論的モデルが量子力学的EPR-ブームス相関 $\mathcal{E}_{q.m.}({\bf a}, {\bf b}) = -{\bf a} \cdot {\bf b}$ を再現できるか。
• RQ2 CHSH不等式の $2\sqrt{2}$ までの違反が、このようなモデルで非局所性や文脈性を要するか。
• RQ3 ツァイレルソンの上限が、量子力学的仮定ではなく幾何代数的性質から導けるか。
• RQ4 パウリ代数が $Cl_{3,0}$ の部分代数であることを踏まえると、局所変数がクライフォード代数に拡張された場合、ベルの定理は無効になるか。

主な発見

• モデルは、非可換性を有する局所的決定論的クライフォード代数値変数のみを用いて、量子力学的スピン相関 $\mathcal{E}_{q.m.}({\bf a}, {\bf b}) = -{\bf a} \cdot {\bf b}$ を正確に再現する。
• CHSH不等式は $2\sqrt{2}$ まで違反し、非局所性や後退的因果性を要さずに、量子力学的上限と一致する。
• $|\mathcal{F}_{c.v.}(\boldsymbol{\xi})| \leq 2\sqrt{2}$ の上限は、クライフォード代数積における非ゼロの交換子に起因し、量子統計とは無関係である。
• CHSH不等式の違反は、量子力学に特有の性質ではなく、物理的空間の幾何代数的構造の結果である。
• モデルは、時空的に分離された測定において局所的可換性 $[A_{\bf n}, B_{{\bf n}'}] = 0$ を満たし、相対論的局所性を保持する。
• ツァイレルソンの上限が、$Cl_{3,0}$ のクライフォード代数の幾何的性質であることが示された、量子力学的制約ではない。