[論文レビュー] Disproving Heisenberg's error-disturbance relation

Masanao Ozawa|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2013

Fault Detection and Control Systems参考文献 3被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、Busch, Lahti, and Werner (BLW) が最近提唱した、ヘイゼンベルクの誤差-撹乱関係（EDR）が、誤差と撹乱の新しい定義を用いることで、元の形で厳密に証明可能であるという主張に反論する。線形位置測定の解けるモデル、特に誤差のない収縮状態測定を分析することで、BLWの証明が、誤差と撹乱が有界であるような共変な同時POVMの存在を誤って仮定していることにより失敗することを示している。実際、このようなモデルでは、平均二乗誤差はゼロで、撹乱は有限であるため、ヘイゼンベルクのEDRに反し、BLWの結論を根底から覆す。

ABSTRACT

Recently, Busch, Lahti, and Werner (arXiv:1306.1565v1 [quant-ph]) claimed that Heisenberg's error-disturbance relation can be proved in its original form with new formulations of error and disturbance, in contrast to the theory proposed by the present author and confirmed by recent experiments. Despite their claim, it is shown here that a class of solvable models of position measurement with explicit interaction Hamiltonians escape the Busch-Lahti-Werner relation. It is also made clear where their proof fails. Those models have unambiguously defined zero root-mean-square error and finite root-mean-square disturbance in every input state and are naturally considered to violate Heisenberg's error-disturbance relation in any conceivable formulation.

研究の動機と目的

• Busch, Lahti, and Werner (BLW) が提唱した、ヘイゼンベルクの元の誤差-撹乱関係（EDR）が、彼らの誤差と撹乱の新しい定式化を用いて厳密に証明可能であるという主張に反論すること。
• BLWの証明が、すべての測定に対して誤差と撹乱が有界であるような共変な同時POVMの存在を仮定しているという、誤った仮定に依存していることを示すこと。
• 特に誤差のない収縮状態測定を含む解ける線形測定モデルが、平均二乗誤差がゼロで、平均二乗撹乱が有限であることを示し、BLWの主張と矛盾すること。
• EDRの失敗は、撹乱の定義が不適切であるためではなく、BLWの数学的推論に根本的な欠陥があることの明確化

提案手法

• 誤差のない収縮状態測定を含む、明示的な相互作用ハミルトニアンを持つ線形位置測定の解けるモデルを分析する。
• 測定前の観測可能量と測定後の観測可能量の差に基づく、標準的な量子力学的平均二乗誤差と撹乱の定義を適用する。
• 三角不等式と近似固有状態解析を用いて、状態依存のずれに基づいて誤差と撹乱を評価する。
• R²のストーン＝チェホフコンパクト化上の同時POVMの空間にマコフ＝カクタニの不動点定理を適用し、POVM集合の閉包内の不動点を同定する。
• 不動点となるPOVMが Π(R²) = 0 を満たす可能性があること、つまりR²上での有効な同時POVMではないことから、BLWの共変POVMが誤差と撹乱が有界であると仮定する根拠が無効であることを示す。
• 誤差のない線形測定において、BLWの誤差と撹乱の測定値が無限大になることを示し、彼らのEDRを満たすという主張に反することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルクの元の誤差-撹乱関係は、Busch, Lahti, and Wernerが提唱した誤差と撹乱の新しい定式化を用いて、厳密に証明可能か？
• RQ2 平均二乗誤差がゼロで、平均二乗撹乱が有限である解ける線形測定モデルは、物理的に意味のあるいかなる定式化においてもヘイゼンベルクのEDRに反するか？
• RQ3 BLWの証明における仮定——「すべての同時POVMに対して、誤差と撹乱がそれ以上でない共変なPOVMが存在する」——は数学的に妥当か？
• RQ4 BLWが提唱した誤差と撹乱の測定値は、ヘイゼンベルクの元の思考実験の物理的内容を正しく捉えているか？
• RQ5 マコフ＝カクタニの不動点定理は、BLWの証明における同時POVMの集合に適用可能であり、誤差と撹乱が有界である共変POVMの存在を保証できるか？

主な発見

• 誤差のない収縮状態測定モデルでは、平均二乗誤差はゼロで、平均二乗撹乱は有限であり、ヘイゼンベルクのEDRに反する。
• BLWの証明は、すべての測定に対して誤差と撹乱が有界である共変な同時POVMの存在を仮定しているが、誤差のない線形測定ではそのようなPOVMは存在しないため、証明が失敗する。
• 同時POVM集合の閉包におけるマコフ＝カクタニの不動点定理の不動点POVMは、Π(R²) = 0 を満たす可能性があり、これはR²上での有効な同時POVMではないため、BLWの主張を無効にする。
• 誤差のない線形測定において、BLWの誤差と撹乱の測定値は無限大になるため、彼らの定式化は測定プロセスの物理的本質を正しく捉えていない。
• 平均二乗誤差と撹乱は、測定前の観測可能量と測定後の観測可能量が可換である線形測定において、明確に古典的定義に基づいて定義可能であり、BLWの定義に対する批判を裏付ける。
• 解けるモデルからの明確な反例により、ヘイゼンベルクのEDRがBLWの定式化を用いて元の形で証明可能であるという主張は支持されない。