[論文レビュー] Dissipative continuous Euler flows in two and three dimensions

Antoine Choffrut, Camillo De Lellis+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、凸統合技法を用いて、2次元および3次元における非圧縮性オイラー方程式に対する散逸的弱解の構成を拡張する。任意の滑らかな正のエネルギープロファイル e(t) に対して、エネルギーの散逸を含む任意のエネルギー変化を示す連続解が存在することを示し、3次元ではこれらの解は本質的に3次元的であり、定数z成分を伴う2次元流れに還元可能でないことを示す。

ABSTRACT

Recently, two of these authors construct dissipative continuous (weak) solutions to the incompressible Euler equations on the three-dimensional torus $\mathbb T^3$. The building blocks in their proof are Beltrami flows, which are inherently three-dimensional. The purpose of this note is to show that the techniques can nevertheless be adapted to the two-dimensional case.

研究の動機と目的

• 非圧縮性オイラー方程式の2次元および3次元における連続弱解がエネルギー保存を破ることを確立すること。
• 3次元における凸統合法を[DLS12]から2次元に適応し、ベルトラミ型流れが構成に必要でないことを示すこと。
• 本フレームワークで構成された3次元解が本質的に3次元的であることを証明し、定数z成分を伴う2次元流れに還元可能でないことを示すこと。
• 速度のL²ノルムおよび速度フラクチュエーションのH^{-1}ノルムに対する境界を用いて、3次元解の非退化性を定量化すること。

提案手法

• [DLS12]の凸統合フレームワークを2次元に適応し、振動的ベクトル場に基づく摂動を用いる。
• 基本場vに2つの摂動wₒ（振動的）およびw_c（補正項）を加えて、速度場v₁を構成する。
• 幾何学的補題を用いて、摂動が発散なしでかつ所定のキャンセレーション性質を満たすことを保証する。
• Schauder推定およびエネルギー推定を用いて、レインズトレステンソルR̃₁を制御し、反復の収束を保証する。
• 摂動の振幅および周波数（λを介して）に制限を課し、解が連続的であり、エネルギープロファイルが保持されることを保証する。
• 累積誤差をエネルギーおよびストレステンソルに制御するため、δ = 2^{-n}およびε' = ε 2^{-n-1}を用いた定量的反復スキームを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元における非圧縮性オイラー方程式の散逸的連続解は、3次元と同一の凸統合フレームワークを用いて構成可能か？
• RQ2 本フレームワークで構成された3次元解は本質的に3次元的か、それとも定数z成分を伴う2次元流れに還元可能か？
• RQ3 弱解においてエネルギープロファイルe(t)をどの程度まで指定可能か。また、これは解の正則性とどのように関係するか？
• RQ4 3次元的非退化性を保証するために、速度場およびそのフラクチュエーションにどの程度の定量的境界を確立できるか？
• RQ5 反復プロセスは、レインズストレスをどのように制御し、所望のエネルギーを持つ弱解への収束を保証するか？

主な発見

• 非圧縮性オイラー方程式に対する散逸的連続解の構成は、3次元から2次元に拡張され、d=2に対しても定理1が成立することを示した。
• 任意の滑らかな正のエネルギープロファイルe(t)に対して、全運動エネルギーが各時刻tでe(t)に等しい連続弱解(v,p)が存在する。
• 3次元において、構成された解は、任意のε>0に対してsup_t |∫v⊗v dx - (1/3)e(t) Id| < εおよびsup_t ||v||_{H^{-1}} < εを満たし、2次元流れへの還元が不可能であることを示した。
• 速度場vは反復的摂動の極限として構成され、wₒおよびw_cがエネルギー制御およびストレステンソルのキャンセレーションを保証する。
• 大きな周波数λを用いてレインズストレステンソルR̃₁を制御し、H^{-1}ノルムにおける収束および小ささを保証した。
• 最終的な解は∫v⊗v dx = (1/3)e(t) Id + O(ε)を満たし、εが十分に小さいとき、非退化的3次元的構造が確認された。