[論文レビュー] Dissipative "Groups" and the Bloch Ball

Allan I. Solomon, Sonia G. Schirmer|ArXiv.org|Nov 6, 2002

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2準位系における散乱的量子制御が、Bloch球内でのBlochベクトルの時間発展を記述する、非一様なリー代数 $ gl(3,\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}^3 $ に従う動的半群を生成することを示している。主な結果は、散乱を制御場のみで完全に補償することは不可能であり、効果的な状態制御および誤り訂正には測定に基づくフィードバックが必要であるということである。

ABSTRACT

We show that a quantum control procedure on a two-level system including dissipation gives rise to a semi-group corresponding to the Lie algebra semi-direct sum gl(3,R)+R^3. The physical evolution may be modelled by the action of this semi-group on a 3-vector as it moves inside the Bloch sphere, in the Bloch ball.

研究の動機と目的

• 2準位系における散乱的量子制御の幾何学的および代数的構造を分析すること。
• コherent制御場が散乱に起因するデコherenceおよび励起状態の崩壊を補償できるかどうかを調査すること。
• Bloch球表現を用いて混合状態のダイナミクスをモデル化し、その背後にある代数的構造を同定すること。
• 制御のみによる散乱補償の限界を確立し、測定フィードバックの必要性を示すこと。
• coherenceベクトルと非一様リー代数を用いて、任意の有限次元系への半群記述の一般化を行うこと。

提案手法

• 2準位系の密度行列をBloch球表現における3次元ベクトル（coherenceベクトル）として表現する。
• ハミルトニアンに依存するスーパーオペレーターと散乱スーパーオペレーター $\mathcal{L}_D$ を含む、量子Liouville方程式を用いて時間発展をモデル化する。
• 制御と散乱の両方が生成する動的リー代数が $ gl(3,\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}^3 $ であることを特定し、これはcoherenceベクトルへの作用から生じる。
• 生成子 $\mathcal{L}$ の指数写像を適用して時間発展写像 $ \exp(\mathcal{L}t) $ を得る。$\mathcal{L}_D$ の負の固有値により、これは半群を形成する。
• 非一様な代数的構造を用いて、Bloch球内部における有界で不可逆なダイナミクスを記述する。
• $N$-準位系への形式の一般化において、$(N^2-1)$次元のcoherenceベクトルと代数 $ gl(N^2-1,\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}^{N^2-1} $ を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コherent制御場のみで2準位量子系における散乱を完全に補償できるか？
• RQ2 Bloch球に表現された散乱的2準位系のダイナミクスの背後にある代数的構造は何か？
• RQ3 散乱を含めた場合、ユニタリダイナミクスと比較して密度行列の幾何的進化はどのように変化するか？
• RQ4 制御のみで失敗した場合、測定とフィードバックが散乱の影響を逆転させる役割を果たすか？
• RQ5 散乱ダイナミクスの半群構造は、高次元量子系へ一般化可能か？

主な発見

• 散乱的効果は、散乱スーパーオペレーター $\mathcal{L}_D$ と制御スーパーオペレーター $\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2$ が直交する行列要素に作用するため、制御場のみでキャンセルできない。
• coherenceベクトルの時間発展は、非一様リー代数 $ gl(3,\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}^3 $ に由来する半群によって支配され、時間発展は非負の時間に限られる。
• 系の状態はBloch球内を進化し、吸引子点は散乱パラメータ $\gamma_{12}, \gamma_{21}, \Gamma$ および制御場によって決定される。
• 測定フィードバックがなければ、制御場のみではBloch球内部の状態を表面に戻すことはできず、散乱の不可逆性に起因する。
• $N$-準位系で励起状態を保存するダイナミクスが成り立つ場合、coherenceベクトルは $ (N^2-1) $ 次元空間内を、半群 $ gl(N^2-1,\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}^{N^2-1} $ に由来するものとして進化する。
• 対称的崩壊率を有する準スピン系では、非一様な $ \mathbb{R}^{N^2-1} $ 項が消え、代数的構造が $ gl(N^2-1,\mathbb{R}) $ に単純化される。