[論文レビュー] Dissipative Mechanics Using Complex-Valued Hamiltonians

S. G. Rajeev|ArXiv.org|Jan 19, 2007

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素数の座標と複素ハミルトニアンを導入することで、散逸系に対する複雑構造のハミルトニアン形式を提案する。これにより、エネルギー散逸を伴う力学の正準的取り扱いが可能になる。この手法は、非エルミートな量子ハミルトニアンを生み出し、その複素固有値が励起状態の崩壊を記述する。形式は、ほぼ複素構造を用いて曲がった位相空間へ一般化可能である。

ABSTRACT

We show that a large class of dissipative systems can be brought to a canonical form by introducing complex co-ordinates in phase space and a complex-valued hamiltonian. A naive canonical quantization of these systems lead to non-hermitean hamiltonian operators. The excited states are unstable and decay to the ground state . We also compute the tunneling amplitude across a potential barrier.

研究の動機と目的

• 複素数の位相空間座標と複素ハミルトニアンを用いて、散逸系の正準的形式を構築すること。
• 散逸をハミルトニアン構造に埋め込むことにより、古典的および量子的力学をエネルギー損失を含む形に一般化すること。
• 非エルミートハミルトニアンと複素固有値を用いて、散逸系の正準的量子化を可能にすること。
• リーマン幾何学とほぼ複素構造を用いて、曲がった位相空間への形式の拡張すること。
• トンネル効果や崩壊過程を含む散逸的力学の研究のための幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• ハミルトニアン H = H₁ + iH₂ を導入し、H₁ を実部（修正された運動エネルギーおよびポテンシャルエネルギー）とし、H₂ を虚部（散逸項）とする。
• 行列 J が J² = -1 を満たすようにして、修正されたポアソン括弧を用いて時間発展を定義する。この J は位相空間ベクトルに i の乗算を実装する。
• 行列 J を用いて、ハミルトニアンの虚部を、散逸を生成するベクトル場に変換する。これにより、実数値の位相空間軌道が保存される。
• 対応原理を適用して系を量子化し、複素固有値を有する非エルミートハミルトニアン演算子が得られる。
• リーマン計量 g_ab と凸ポテンシャル W から導かれる散逸テンソル γ_ab を用いて、余接束 T*Q 上での形式を一般化する。
• 変換された運動量 p̃_a = p_a + ∂_a W を定義することで、保存的および散逸的力学を分離し、新たな変数における複素ハミルトニアン構造を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数の座標と複素ハミルトニアンを用いて、散逸系を正準的ハミルトニアン形式に書き換えられるか？
• RQ2 複素ハミルトニアンの導入が、エネルギー損失を伴う一貫した古典的および量子的記述をどのようにもたらすか？
• RQ3 ほぼ複素構造 J が、実数値の位相空間発展を保ちながら、どのように散逸的力学を生成するか？
• RQ4 非エルミートハミルトニアンの存在下で、ω₂ の選択が量子論にどのように影響するか？
• RQ5 非定数計量および散逸テンソルを持つ曲がった位相空間上でも、この形式を一般化できるか？

主な発見

• 広範な散逸系は、複素ハミルトニアン H = H₁ + iH₂ を用いて記述可能であり、虚部 H₂ がエネルギー散逸を支配する。
• 複素ハミルトニアンであるにもかかわらず、行列 J が J² = -1 を満たすため、古典的運動方程式は実数値のままである。この J は位相空間ベクトルに i の乗算を実装する。
• 正準的量子化により、複素固有値を有する非エルミートハミルトニアン演算子が得られ、励起状態は不安定で基底状態へ崩壊する。
• ハミルトニアンに虚数定数 ic を加えることで、基底状態が安定化され、その固有値が実数のままであることが保証される。
• リーマン計量と凸ポテンシャル W から導かれる散逸テンソル γ_ab を用いて、曲がった位相空間への形式の一般化が可能である。変換された運動量 p̃_a により、複素ハミルトニアン構造が実現される。
• 得られる量子論は、ハミルトニアンの虚部に現れる ω₂ に依存し、シュレーディンガー方程式における非エルミート項に影響を与える。