[論文レビュー] Dissipative operators in Krein Space: invariant subspaces and properties of restrictions

Андрей Андреевич Шкаликов|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的なLanger条件よりもはるかに弱い条件下で、Kreín空間における散逸的作用素に対して、最大の非負の不変部分空間の存在を確立する。この部分空間への作用素の制限は、開左半平面内にスペクトルを持つことを証明し、その制限が正則または$C_0$-半群を生成する十分条件を提示する。これは、Pöntryagin、Langer、Azizovの先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We prove that a dissipative operator in Krein space possesses a maximal non-negative invariant subspace provided that this operator admits matrix representation with respect to canonical decomposition of the space and the right upper entry of the operator matrix is relatively compact with respect to the right lower entry. Under additional condition when the left upper and left lower operators are bounded (the so-called "Langer condition") this result was proved (in the increasing order of generality) by Pontryagin, Krein, Langer, and Azizov. The Langer condition is replaced in the paper by a much weaker condition. We also prove: if a dissipative operator $A$ in Krein space is maximal then there exists a maximal non-negative invariant subspace $\mathcal L_+$ such that the spectrum of the restriction $A_+ = A|_{\mathcal L_+}$ lies in the closed left half-plane. We found sufficient conditions in terms of the entries of $A$ which garantee that $A_+$ is the generator of a holomorphic or $C_0$-semigroup.

研究の動機と目的

• 散逸的作用素に対する古典的な最大非負不変部分空間の存在結果を、制限的なLanger条件を越えて一般化すること。
• この不変部分空間への作用素の制限のスペクトルが開左半平面内に局在することを確立すること。
• 制限作用素が正則または$C_0$-半群を生成する十分条件を導出すること。
• Langer条件における有界性仮定を、行列表現における非対角ブロックに関するはるかに弱いコンパクト性条件に置き換えること。
• Pöntryagin、Langer、Azizovの先行結果を、不定計量空間における散逸的作用素の文脈で統合・拡張すること。

提案手法

• 作用素$A$を$2 \times 2$行列として表すために、$J$に由来する標準的分解$\mathcal{H} = \mathcal{H}^+ \oplus \mathcal{H}^-$を用い、ブロック$A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$を導入する。
• Langerの条件よりも弱い条件を課す：非対角ブロック$A_{12} = P_+ A P_-$はコンパクトであり、$A_{11}$と$A_{22}$が有界であるとは限らない。
• Kreín空間の構造を活かした$J$-散逸的作用素のスペクトル理論とリゾルベント推定を適用する。
• 制限作用素の生成子性を分析するために、$S$-関数とリゾルベント推定の概念を用いる。
• 等式$S(\mu) - \alpha = [1 - G(\mu)A_{12}(A_{11} - \alpha)^{-1}](A_{11} - \alpha)$を用いて、一様なリゾルベント評価を導出する。
• 正則および$C_0$-半群の理論を適用し、右半平面における一様なリゾルベント成長推定を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $J$-散逸的作用素がKreín空間に存在する場合、Langerの条件よりも弱い条件下で最大の非負不変部分空間が存在するか？
• RQ2 この不変部分空間への作用素の制限のスペクトルはどこに位置するか？
• RQ3 この部分空間への作用素の制限が正則または$C_0$-半群を生成する条件は何か？
• RQ4 古典的なLanger条件を、行列表現における非対角ブロックに関するより弱いコンパクト性仮定に置き換えることができるか？
• RQ5 制限作用素のスペクトル的性質および半群生成性は、元の$J$-散逸的作用素の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$A_{12} = P_+ A P_-$がコンパクトであるという条件下で、Kreín空間における$J$-散逸的作用素$A$に対して最大の非負$A$-不変部分空間$\mathcal{L}$の存在を証明する。
• $A|_{\mathcal{L}}$のスペクトルは、開左半平面$\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda < 0\}$に含まれる。
• $A_{11}$が正則半群を生成し、$A_{12}$がコンパクトであるならば、$A|_{\mathcal{L}}$は正則半群を生成する。
• $C_0$-半群を生成するための十分条件は、一様リゾルベント評価：$\|(S(\mu) - \alpha)^{-1}\| \leq C|\alpha|^{-1}$（$\operatorname{Re} \alpha \geq \varepsilon$）を用いて導出される。
• 証明により、$\|G(\mu)\| < 1/(2C(\varepsilon))$が成り立てばリゾルベント推定が成立し、正則半群の生成が保証される。
• Pöntryagin、Langer、Azizovの先行定理は、$A_{11}$と$A_{22}$の有界性仮定を$A_{12}$のコンパクト性というより弱い条件に置き換えることで拡張される。