[論文レビュー] Dissipative Quantum Mechanics: The Generalization of the Canonical Quantization and von Neumann Equation

Vasily E. Tarasov|ArXiv.org|Oct 5, 1994

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ひとこと要約

本稿では、非可換かつ非リー型の演算子 W を導入することで、散逸的量子系の一般化された正準量子化枠組みを提案する。この方法により、ヘイゼンベルク代数が拡張され、正準交換関係が保存されたまま、散逸的系に対して整合性のある量子力学的運動方程式が得られ、古典的リウヴィル力学と整合する修正されたフォンノイマン方程式が導かれる。

ABSTRACT

The dissipative models in string theory can have more broad range of application: 1) Noncritical strings are dissipative systems in the "coupling constant" phase space. 2) Bosonic string in the affine-metric curved space is dissipative system. But the quantum descriptions of the dissipative systems have well known ambiguities. In order to solve the problems of the quantum description of dissipative systems we suggest to introduce an operator W in addition to usual (associative) operators. The suggested operator algebra does not violate Heisenberg algebra because we extend the canonical commutation relations by introducing an operator W of the nonholonomic quantities in addition to the usual (associative) operators of usual (holonomic) coordinate -momentum functions. To satisfy the generalized commutation relations the operator W must be nonassociative nonLieble (does not satisfied the Jacobi identity) operator. As the result of these properties the total time derivative of the multiplication and commutator of the operators does not satisfies the Leibnitz rule. This lead to compatibility of quantum equations of motion for dissipative systems and canonical commutation relations. The suggested generalization of the von Neumann equation is connected with classical Liouville equation for dissipative systems.

研究の動機と目的

• 散逸的系の量子記述における長年の曖昧さを解消すること。
• 正準量子化を結合的代数にとどまらず、非ホロノミー的自由度を含むように拡張すること。
• 量子力学的運動方程式と一般化された交換関係の間の整合性を維持すること。
• 古典的散逸的リウヴィル力学と整合する修正されたフォンノイマン方程式を導出すること。
• 非臨界ストリングや曲がった空間のボソン的ストリングを散逸的系として適用可能な数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 座標演算子と運動量演算子の標準的ヘイゼンベルク代数を拡張するため、非可換かつ非リー型の演算子 W を導入する。
• W を加えることで正準交換関係を修正し、非ホロノミー的（非積分可能）な自由度を表現する。
• 非可換性のため、演算子積および交換子の全時間微分がリーブニッツ則を満たさなくなることを保証する。
• 修正された交換関係と整合する一般化されたフォンノイマン方程式を構築する。
• 一般化された量子力学的ダイナミクスと散逸的系の古典的リウヴィル方程式との間の関係を確立する。
• この枠組みを用いて、非臨界ストリングやアフィン計量を持つ曲がった空間内のボソン的ストリングといった散逸的系を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして正準量子化を一般化し、散逸的量子系を一貫して記述できるか？
• RQ2 どのような代数的構造が、正準交換関係を保存しつつ散逸を扱えるか？
• RQ3 演算子 W の非可換性が、量子観測量の時間発展にどのように影響するか？
• RQ4 散逸的古典的力学と整合する修正されたフォンノイマン方程式を導出できるか？
• RQ5 この形式的枠組みが、非臨界ストリングや曲がった空間ストリングのようなストリング理論モデルに与える影響は何か？

主な発見

• 非可換かつ非リー型の演算子 W の導入により、標準的ヘイゼンベルク代数を破らずに散逸的系の一貫した量子化が可能になる。
• W の非可換性のため、演算子積および交換子の時間微分がリーブニッツ則を満たさず、散逸的ダイナミクスと整合する。
• 一般化されたフォンノイマン方程式が導出され、散逸的系の古典的リウヴィル方程式と整合することが示された。
• この形式的枠組みは、非臨界ストリングやアフィン計量を持つ曲がった空間内のボソン的ストリングといった物理的系に適用可能であり、カップリング定数の位相空間において散逸的であると特定される。
• 結合的構造を超えた演算子代数への拡張により、散逸の量子記述における曖昧さが解消される。
• 標準的正準量子化が対称性の破壊やエネルギー保存の欠如によって失敗する系に対しても、数学的に整合した量子化の道筋を提供する。