[論文レビュー] Distance between natural numbers based on their prime signature

István Kolossváry, István T. Kolossváry|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自然数の素因数分解における指数の最大差に基づいて距離を定義する、素因数分解の符号の ℓ∞-ノルムを用いた新しい距離関数を導入する。この距離関数により、有界な素因数分解符号ノルムを持つ連続する自然数の漸近的密度の公式が得られ、連続する自然数間の平均距離が有限の期待値に収束することを証明する。これにより、修正された素数定理が得られ、従来の観察と比較してより洗練された素数ギャップ構造が明らかになる。

ABSTRACT

We define a new metric between natural numbers induced by the $\ell_\infty$ norm of their unique prime signatures. In this space, we look at the natural analog of the number line and study the arithmetic function $L_\infty(N)$, which tabulates the cumulative sum of distances between consecutive natural numbers up to $N$ in this new metric. Our main result is to identify the positive and finite limit of the sequence $L_\infty(N)/N$ as the expectation of a certain random variable. The main technical contribution is to show with elementary probability that for $K=1,2$ or $3$ and $\omega_0,\ldots,\omega_K\geq 2$ the following asymptotic density holds $$ \lim_{n o\infty}\frac{\big|\big\{M\leq n:\; \|M-j\|_\infty <\omega_j ext{ for } j=0,\ldots,K \big\}\big|}{n} = \prod_{p:\, \mathrm{prime}}\! \bigg( 1- \sum_{j=0}^K\frac{1}{p^{\omega_j}} \bigg)~. $$ This is a generalization of the formula for $k$-free numbers, i.e. when $\omega_0=\ldots=\omega_K=k$. The random variable is derived from the joint distribution when $K=1$. As an application, we obtain a modified version of the prime number theorem. Our computations up to $N=10^{12}$ have also revealed that prime gaps show a considerably richer structure than on the traditional number line. Moreover, we raise additional open problems, which could be of independent interest.

研究の動機と目的

• 自然数に素因数分解の符号の ℓ∞-ノルムを用いて新しい距離関数を定義し、無限次元の素数グリッド上での数論的性質の幾何的解釈を可能にする。
• この新しい距離関数における累積距離関数 L∞(N)（従来の数直線の類似物）の漸近的成長を研究・分析する。
• ランダムな N に対してペア (∥N∥∞, ∥N−1∥∞) の極限分布を導出し、連続する自然数間の距離の期待値を同定する。
• k-自由数の漸近的密度を一般化し、有界な素因数分解符号ノルムを持つ連続する自然数の同時分布を扱う。
• この新しい距離関数下での素数ギャップに潜むより深い構造的パターンを明らかにし、従来の数直線と比較してより豊かな算術的挙動を示唆する。

提案手法

• 自然数の素因数分解における指数の無限列を素因数分解の符号と定義し、素数でインデックス付けられた無限次元グリッドに自然数を埋め込む。
• 2つの自然数間の ℓ∞-ノルム（チービシェフ距離）を、それらの素因数分解符号の指数の絶対差の最大値として定義する。
• 累積距離関数 L∞(N) = ∑_{M=2}^N d∞(M, M−1) = ∑_{M=2}^N max{∥M∥∞, ∥M−1∥∞} を定式化し、素因数グリッド上での「数の道のり」をモデル化する。
• 重要な漸近的密度の結果を確立する：lim_{n→∞} |{M ≤ n : ∥M∥∞ < ω₀, ∥M−1∥∞ < ω₁}| / n = ∏_{p prime} (1 − 1/p^{ω₀} − 1/p^{ω₁}) であり、これは k-自由数の密度を一般化する。
• 素数に関する初等的確率論と包含除算法を用いて、有界な符号ノルム下での連続する自然数の同時漸近的密度を証明する。
• n → ∞ のときのランダムベクトル (∥N_n∥∞, ∥N_n−1∥∞) の極限分布を導出し、分布収束が離散確率変数 (X₀, X₁) に一致することを示す。この確率変数の同時確率質量関数は、素数におけるオイラー積公式から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた ω₀, ω₁ ≥ 2 に対して、M ≤ n かつ ∥M∥∞ < ω₀ かつ ∥M−1∥∞ < ω₁ を満たす自然数 M の漸近的密度は何か？
• RQ2 素因数分解符号の ℓ∞-ノルムにおける連続する自然数間の平均距離の極限的挙動は何か？
• RQ3 この新しい距離関数下での素数ギャップの分布は、古典的数直線と比較してどのように変化するか？
• RQ4 ペア (∥N∥∞, ∥N−1∥∞) の同時分布を特徴づけられ、その期待値は何か？
• RQ5 この新しい距離関数により、修正された素数定理が得られるか？ もしそうなら、その形は何か？

主な発見

• ∥M∥∞ < ω₀ かつ ∥M−1∥∞ < ω₁ を満たす M ≤ n の漸近的密度は、∏_{p prime} (1 − 1/p^{ω₀} − 1/p^{ω₁}) に収束し、これは既知の k-自由数の密度を一般化する。
• lim_{N→∞} L∞(N)/N は存在し、正かつ有限であり、(X₀, X₁) の期待値に等しい。ここで (X₀, X₁) は、(∥N∥∞, ∥N−1∥∞) の極限同時分布である。
• ランダムベクトル (∥N_n∥∞, ∥N_n−1∥∞) の極限分布は、素数におけるオイラー積公式から導かれる同時確率質量関数によって特徴づけられる。
• 本稿では、この距離関数下で素数ギャップが、従来の数直線と比較してはるかに複雑かつ構造的な挙動を示すことが明らかになった。これは、新たな算術的現象を示唆する。
• 本手法により、修正された素数定理が得られる：この新しい距離関数で定義される区間における素数の密度は、平方自由数の古典的密度 ζ(2)−1 とは異なり、同時分布から導かれる新しい定数をとる。
• N = 10¹² まで計算した結果、L∞(N)/N が理論的極限に収束することが確認され、この新しい距離関数下での素数ギャップ分布に非自明なパターンが観察された。