[論文レビュー] Distance Between Sets - A survey

Aura Conci, Carlos S. Kubrusly|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Image Retrieval and Classification Techniques参考文献 17被引用数 23

ひとこと要約

本調査では、距離空間および測度空間における集合間の距離関数について包括的な概説を提供しており、特にハウスドルフ族と、フレシェ–ニコディム–アロンサインおよびマルツェヴィチ–シュタインハウスのような測度論的距離に焦点を当てている。15種類のハウスドルフ変種を分類し、画像処理、パターン認識、オブジェクト解析における応用をレビューしており、実用的応用における安定性と計算的トレードオフを強調している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give a survey on the notions of distance between subsets either of a metric space or of a measure space, including definitions, a classification, and a discussion of the best-known distance functions, which is followed by a review on applications used in many areas of knowledge, ranging from theoretical to practical applications.

研究の動機と目的

• 距離空間および測度空間における部分集合間の距離関数を体系的に分類し定義すること。
• ハウスドルフ距離およびその15種類の変種の理論的性質と実用的制限要因を分析すること。
• 測度論的文脈におけるフレシェ–ニコディム–アロンサイン距離およびマルツェヴィチ–シュタインハウス距離をレビューすること。
• 計算幾何学、画像処理、ファジィ集合論の分野における集合距離の応用を調査すること。
• 実世界のパターン認識タスクにおいて、異なる距離計測法のロバスト性と感度を比較すること。

提案手法

• 距離関数を2つの主要な族に分類する：ハウスドルフ型（距離に基づく）および測度論的（測度空間の性質に基づく）。
• ハウスドルフ距離の4通りの同等な定式化を提示し、段階的な修正を通じて15種類のその変種を分析する。
• フレシェ–ニコディム–アロンサイン距離およびその正規化形であるマルツェヴィチ–シュタインハウス距離を、測度論的原則を用いて定義する。
• 擬距離および商空間の構成を用いて、非距離的距離を同等の距離空間に結びつける。
• 距離関数を画像およびオブジェクト解析に適用し、平行移動、回転、非対称性を考慮した変種を含む。
• 合成画像および実画像を用いた性能評価を行い、特に顔認識およびオブジェクト認識タスクにおいて評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハウスドルフ型距離と測度論的距離の間には、理論的にどのような主要な違いがあるか？
• RQ2 ハウスドルフ距離の15種類の変種は、画像処理応用において感度と安定性の観点でどのように異なるか？
• RQ3 非ハウスドルフ的かつ非対称的距離は、オブジェクトマッチングおよび形状認識において、どのように性能を向上させるか？
• RQ4 有限集合または可測集合の文脈において、フレシェ–ニコディム–アロンサイン距離およびマルツェヴィチ–シュタインハウス距離といった測度論的距離は、距離に基づく距離と比べてどのように比較されるか？
• RQ5 実世界の画像解析タスクにおいて、標準的なハウスドルフ距離を使用する際の計算的および実用的制限は何か？

主な発見

• ハウスドルフ距離は理論的には魅力的だが、画像処理における外れ値やノイズへの高い感受性のため、実用的には不安定である。
• p=2 のための距離 $ h_p' $ および $ ilde{ ho} $-に基づく距離が、画像比較タスクにおいて標準的なハウスドルフ距離よりもよりロバストであることが判明した。
• 24通りのハウスドルフ族の組み合わせを検証した結果、ダビュッソンとジャイン（1994）の報告によれば、$ h_0' $ が実画像比較において最も優れた性能を示した。
• 非対称なハウスドルフ距離の変種、例えば $ h_1' $ は、大きな重複をペナルティ化することでオブジェクトマッチングの性能を向上させ、識別能を高めた。
• 平行移動および剛体運動下での最小ハウスドルフ距離を計算するためのアルゴリズムは、顔検出およびモーショントラッキングの分野で、実画像データに成功裏に適用された。
• フレシェ–ニコディム–アロンサインおよびマルツェヴィチ–シュタインハウス距離による測度論的アプローチは、特にファジィ集合や離散的集合において、有限測度または数え上げ測度の設定で安定した代替手段を提供する。