[論文レビュー] Distance Covariance in Metric Spaces: Non-Parametric Independence Testing in Metric Spaces (Master's thesis)

Martin Emil Jakobsen|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この修士論文は、ルイ・ルイーズが開発した距離共分散関数を用いて、分離可能な距離空間における非パラメトリックな独立性検定を提案する。強負の型を示す距離空間—例えば分離可能なヒルバート空間—では、距離共分散がゼロとなるのは、確率的要素が独立である場合に限ることを確立している。本論文は、この関数の一致推定量を構築し、パラメトリックな仮定なしに有効な推論を可能にするブートストラップに基づく仮説検定を提案する。

ABSTRACT

The aim of this thesis is to find a solution to the non-parametric independence problem in separable metric spaces. Suppose we are given finite collection of samples from an i.i.d. sequence of paired random elements, where each marginal has values in some separable metric space. The non-parametric independence problem raises the question on how one can use these samples to reasonably draw inference on whether the marginal random elements are independent or not. We will try to answer this question by utilizing the so-called distance covariance functional in metric spaces developed by Russell Lyons. We show that, if the marginal spaces are so-called metric spaces of strong negative type (e.g. seperable Hilbert spaces), then the distance covariance functional becomes a direct indicator of independence. That is, one can directly determine whether the marginals are independent or not based solely on the value of this functional. As the functional formally takes the simultaneous distribution as argument, its value is not known in the posed non-parametric independence problem. Hence, we construct estimators of the distance covariance functional, and show that they exhibit asymptotic properties which can be used to construct asymptotically consistent statistical tests of independence. Finally, as the rejection thresholds of these statistical tests are non-traceable we argue that they can be reasonably bootstrapped.

研究の動機と目的

• パラメトリックな分布的仮定を一切行わない、分離可能な距離空間における非パラメトリックな独立性問題を解くこと。
• ユークリッド空間を超えた一般の距離空間、特に強負の型を示す空間への距離共分散の概念の拡張。
• 真の同時分布が未知である状況において、距離共分散関数の一致推定量を構築すること。
• これらの推定量を用いて、漸近的に有効な独立性のための統計的仮説検定を構築すること。
• 解析的に求められない棄却臨界値の課題に対処するため、ブートストラップに基づくアプローチを提案すること。

提案手法

• 特徴関数と積空間上の積分を用いて定義される、距離空間における距離共分散関数を、従属の尺度として用いる。
• 特に強負の型の概念を含む距離空間理論の結果を適用し、距離共分散がゼロとなるのは、確率的要素が独立である場合に限ることを保証する。
• i.i.d. のペアドサンプルから、U統計量に基づく距離共分散関数の推定量を構築し、漸近的解析にヒューフィング分解を活用する。
• 独立性の帰無仮説の下での推定量の漸近的分布を導出し、退化分布への収束を示す。
• ブートストラップ法を用いて、検定統計量の標本分布を近似し、解析的臨界値が得られない場合の臨界値推定を可能にする。
• 複素化およびテンソル積技術を用いて、ヒルバート空間値の積分を扱い、抽象的距離空間における理論的基盤を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離共分散関数は、一般の分離可能な距離空間において、独立性の直接的指標として機能できるか？
• RQ2 距離空間にどのような条件下で、距離共分散がゼロとなるのは、確率的要素が独立である場合に限るのか？
• RQ3 真の同時分布が未知である状況で、有限のi.i.d. サンプルから距離共分散関数を一貫して推定する方法は何か？
• RQ4 帰無仮説の下での、提案された推定量の漸近的性質は何か？
• RQ5 解析的に求められない場合に、独立性のための仮説検定の棄却臨界値を信頼性を持って計算する方法は何か？

主な発見

• 強負の型を示す距離空間—例えば分離可能なヒルバート空間—では、距離共分散関数がゼロとなるのは、確率的要素が独立である場合に限る。このため、独立性の直接的指標として機能する。
• 提案された距離共分散関数の推定量は一貫性を示し、標本サイズが増加するにつれて、確率的に真の値に収束する。
• 帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布は退化しており、臨界値推定のためのリサンプリング手法の必要性が生じる。
• ブートストラップ手順は、検定統計量の標本分布を近似する有効かつ実用的な方法を提供し、漸近的に一貫性のある仮説検定を可能にする。
• 理論的枠組みにより、距離共分散の適用範囲がユークリッド空間を超えて、一般の分離可能な距離空間、特に複雑または無限次元の構造を持つ空間へと拡張された。
• 距離共分散カーネルの有界性を示す重要な補題の証明は、三角不等式および距離の性質に依拠しており、推定量の可積分性と安定性を保証する。