[論文レビュー] Distance graphs with large chromatic number and arbitrary girth

Andrey Kupavskii|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 内の距離グラフを構築し、任意に大きな周囲長と、$\delta>0$ に依存するある $\delta$ に対して $(1+\delta)^n$ の割合で成長する彩色数をもつ。適切に調整されたエッジ確率と依存関係の解析を用いた確率的技法と、Lovász Local Lemma を用いて、任意の $k\geq3$ に対して、周囲長が少なくとも $k$ で、彩色数が $n$ に関して指数関数的に成長する $\mathbb{R}^n$ 内の距離グラフが存在することを証明した。これは、幾何的距離グラフにおける周囲長と彩色数のトレードオフに関する長年のギャップを解消するものである。

ABSTRACT

In this article we consider a problem related to two famous combinatorial topics. One of them concerns the chromatic number of the space. The other deals with graphs having big girth (the length of the shortest cycle) and large chromatic number. Namely, we prove that for any $l\in \mathbb{N}$ there exists a sequence of distance graphs in $\mathbb{R}^n$ with girth at least $l$ and the chromatic number equal to $(c+\bar{o}(1))^n$ with $c>1$.

研究の動機と目的

• 距離グラフの周囲長制約下での、$\mathbb{R}^n$ 内の距離グラフの彩色数の最大値を理解するギャップを埋めること。
• 任意の $k\geq3$ に対して、周囲長が少なくとも $k$ で、彩色数が $n$ に関して指数関数的に成長する距離グラフが存在することを確立すること、すなわち $\xi_k \geq 1+\delta$（$\delta>0$）を満たすこと。
• 以前のクライークまたは奇サイクル制約下での彩色数の上限に関する結果を、すべての長さが $k$ 以下のサイクルを除外するというより強い条件に拡張し、$\xi_k$ に対して非自明な指数的下界を証明すること。

提案手法

• エッジ確率 $p = \gamma^{4n}$（$\gamma < 1$）を丁寧に選ぶことで、$\mathbb{R}^n$ 内の距離グラフを確率的に構築する。
• Lovász Local Lemma を適用し、小さなサイクル（周囲長 $\geq k$）や密集した部分グラフの存在を避けることで、サイクルのない部分グラフと高い彩色数を持つグラフの存在を示す。この際、悪い事象（小さなサイクルや密集部分グラフの存在）の依存関係を制御する。
• 悪い事象 $X_i$（$k$-クリークの存在）と $Y^s_i$（$s \leq k$ の $s$-サイクルの存在）を定義し、対称版の Lovász Local Lemma を用い、$\delta^x_i$ と $\delta^y_i(s)$ を適切に選ぶことで、すべての悪い事象を回避する確率が正であることを保証する。
• 各 $X_i$ および $Y^s_i$ の依存する事象の数を、共有するエッジをもつ部分グラフの数の上限を用いて推定し、$n$ および $k$ に基づく指数関数的評価を用いて、ラマヌジャンの不等式を満たすための $\gamma$ の条件を導出する。
• 不等式 $\gamma^{4n(s-1-f)}$ と $2^{4n(s-2)}$ を含む不等式を用いて、依存する事象の確率の和が有界であるための十分条件を導出する。
• 不等式 $\frac{2-\delta}{4-\epsilon} < \gamma < 2^{-\frac{k-2}{k-1-f}}$ を満たすようにパラメータ $\epsilon, f, \delta, \gamma$ を選ぶことで、$k \geq 3$ のすべての $k$ に対して Lovász Local Lemma の条件を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離グラフを $\mathbb{R}^n$ 内で、任意に大きな周囲長と、$n$ に関して指数関数的に成長する彩色数をもつように構築することは可能か？
• RQ2 すべての長さが $k$ 以下のサイクルが禁止された場合、$\mathbb{R}^n$ 内の距離グラフの彩色数の最大指数的成長率は何か？
• RQ3 任意の固定された $k \geq 3$ に対して、すべての長さ $\leq k$ のサイクルを除外する制約下で、距離グラフの彩色数に対して正の指数的下界を達成することは可能か？

主な発見

• 任意の固定された $k \geq 3$ に対して、ある定数 $\delta = \delta(k) > 0$ が存在し、周囲長が少なくとも $k$ である $\mathbb{R}^n$ 内の距離グラフの彩色数は、少なくとも $(1+\delta)^n$ の割合で成長する。
• 本稿は、$\xi_k = \liminf_{n\to\infty} \max_{G \in \mathcal{G}(n,k)} \chi(G)^{1/n}$ に対して非自明な指数的下界 $\xi_k \geq 1+\delta$ を確立した。これは、$k \geq 4$ の場合、以前の研究ではそのような下界が得られていなかったギャップを解消するものである。
• 構成法はエッジ確率 $p = \gamma^{4n}$ を用いた確率的技法であり、Lovász Local Lemma を用いて小さなサイクルや密集部分グラフを回避し、高い彩色数を保証する。
• 十分に大きな $n$ に対して、周囲長が少なくとも $k$ で、彩色数が少なくとも $(1+\delta)^n$ である距離グラフが $\mathbb{R}^n$ 内に存在することが証明された。ここで $\delta > 0$ は $k$ のみに依存する。
• サイクルやクリークに対応する事象の依存関係は、重複する部分グラフの数を制限し、エッジ確率の指数的減衰を用いることでうまく処理された。
• 結果として、距離グラフの彩色数は、強い周囲長制約下にあっても指数関数的に成長しうることを確認した。これは、一般グラフにおける彩色数と周囲長の関係に関する以前の結果を、距離グラフという幾何的設定にまで拡張した。