[論文レビュー] Distance Hereditary Graphs and the Interlace Polynomial

Joanna A. Ellis-Monaghan, Irasema Sarmiento|ArXiv.org|Apr 4, 2006

Algorithms and Data Compression参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中点グラフを通じて頂点ノード数ゼロの入れ子多項式とトゥッテ多項式の関係を確立し、一般にその多項式の計算が#P困難であることを証明する。また、多項式が多項式時間で計算可能な、取り扱いやすいクラスとして二部距離特徴グラフを同定し、γ不変量を用いて特徴づける。具体的には、系列並列グラフがβ = 1で特徴づけられるのと同様に、γ = 2を満たすことが判明する。

ABSTRACT

The vertex-nullity interlace polynomial of a graph, described by Arratia, Bollobás and Sorkin as evolving from questions of DNA sequencing, and extended to a two-variable interlace polynomial by the same authors, evokes many open questions. These include relations between the interlace polynomial and the Tutte polynomial and the computational complexity of the vertex-nullity interlace polynomial. Here, we prove that the one-variable vertex-nullity interlace polynomial is in general #P-hard to compute. We also show a relation between the two-variable interlace polynomial and the topological Tutte polynomial of Bollobás and Riordan. We define the γinvariant as the coefficient of x^1 in the vertex-nullity interlace polynomial, analogously to the βinvariant, which is the coefficient of x^1 in the Tutte polynomial. We then turn to distance hereditary graphs, and show that graphs in this class have γinvariant of 2^{n+1} when n true twins are added in their construction. We furthermore show that bipartite distance hereditary graphs are exactly the class of graphs with γinvariant 2, just as the series-parallel graphs are exactly the class of graphs with βinvariant 1. In addition, we show that a bipartite distance hereditary graph arises precisely as the circle graph of any Euler circuit in the oriented medial graph of a series-parallel graph. From this we conclude that the vertex-nullity interlace polynomial is polynomial time to compute for bipartite distance hereditry graphs, just as the Tutte polynomial is polynomial time to compute for series-parallel graphs.

研究の動機と目的

• 平面グラフにおける頂点ノード数ゼロの入れ子多項式と古典的トゥッテ多項式の関係を、中点グラフ構成を用いて明確化すること。
• 頂点ノード数ゼロの入れ子多項式の計算複雑性を調査し、一般に#P困難であることを示すこと。
• 頂点ノード数ゼロの入れ子多項式が多項式時間で計算可能な非自明なグラフクラスを同定すること。
• トゥッテ多項式におけるβ不変量と同様に、q_Nにおけるx¹の係数であるγ不変量を用いてグラフを特徴づけること。
• 二部距離特徴グラフと、系列並列グラフの中点グラフにおけるオイラー回路の円グラフとの間の構造的関係を確立すること。

提案手法

• 平面グラフのための中点グラフ構成を用い、x = yのとき、頂点ノード数ゼロの入れ子多項式とトゥッテ多項式を関連付ける。
• 二変数の入れ子多項式を適用し、同じ中点グラフフレームワークを通じてボロバーシュとリアジャンのトポロジカルトゥッテ多項式と関連付ける。
• γ不変量を、頂点ノード数ゼロの入れ子多項式におけるx¹の係数として定義し、トゥッテ多項式におけるβ不変量と類似させる。
• 垂れ下がり頂点および真のツイン頂点を含む構成的プロセスを用いて距離特徴グラフを特徴づけ、n個の真のツインが追加された際のγ不変量を2^{n+1}として計算する。
• 二部距離特徴グラフはγ = 2を満たすグラフのクラスにちょうど一致することを確立し、オイラー回路を含む向き付けられた中点グラフから導かれる円グラフの構造を用いる。
• 距離特徴グラフの多項式時間認識可能性と、系列並列グラフにおけるトゥッテ多項式の既知の多項式時間計算可能性を活用し、二部距離特徴グラフにおけるq_Nの多項式時間計算可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフにおいて、頂点ノード数ゼロの入れ子多項式は、古典的トゥッテ多項式とどのように関係するか？
• RQ2 頂点ノード数ゼロの入れ子多項式の計算複雑性は何か？ すべてのグラフにおいて#P困難のままであるか？
• RQ3 頂点ノード数ゼロの入れ子多項式が多項式時間で計算可能な非自明なグラフクラスは存在するか？
• RQ4 q_Nにおけるx¹の係数であるγ不変量は、トゥッテ多項式におけるβ不変量と同様に、意味のあるグラフクラスを特徴づけるために使用可能か？
• RQ5 二部距離特徴グラフと、系列並列グラフの中点グラフにおけるオイラー回路から導かれる円グラフとの間の構造的関係は何か？

主な発見

• 頂点ノード数ゼロの入れ子多項式は一般に#P困難に計算可能であり、中点グラフを通じてトゥッテ多項式と関連していることから、トゥッテ多項式が#P困難であることが既知であるためである。
• 平面グラフにおいて、頂点ノード数ゼロの入れ子多項式はq_N(G;x) = t(G;x,x)を満たし、両多項式の直接的な関連を確立する。
• 二変数の入れ子多項式は、中点グラフ構成を通じてボロバーシュとリアジャンのトポロジカルトゥッテ多項式と関連している。
• 距離特徴グラフのγ不変量は、構成順序でn個の真のツインが追加された場合に2^{n+1}に等しくなることが示され、明確な代数的特徴づけが得られる。
• 二部距離特徴グラフは、ちょうどγ = 2を満たすグラフのクラスに一致し、系列並列グラフがβ = 1で特徴づけられるのと類似している。
• 二部距離特徴グラフは、系列並列グラフの中点グラフにおけるオイラー回路の円グラフとして正確に得られ、このクラスにおける頂点ノード数ゼロの入れ子多項式の多項式時間計算が可能になる。