[論文レビュー] Distance matrices, random metrics and Urysohn space

Анатолий Моисеевич Вершик|ArXiv.org|Mar 1, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、距離行列の凸錐を、ポーランド空間を研究するための普遍的枠組みとして導入し、一般の要素が普遍的かつ均一な距離空間であるウリソン空間に対応することを証明している。行列分布—$S_{\infty}$-不変でエルゴード的な測度—が、ボレル確率測度を伴う距離空間の測度を保全する等長写像に関して完全不変量をなすこと、したがって自然数上に新たなランダム距離のクラスを定義している。

ABSTRACT

We introduce an universum of the Polish (=complete separable metric) space - the convex cone of distance matrices and study its geometry. It happened that the generic Polish spaces in this sense of this universum is so called Urysohn spaces defined by P.S.Urysohn in 20-th, and generic metric triple (= metric space with probability borel measure) is also Urysohn space with non-degenerated measure. We prove that the complete invariant of the metric space with measure up to measure preserving isometries is so called matrix distribution - invarinat and ergodic measure with respect to infinite symmetric group which is concentrated on the cone of distance matrices. This defined an important new class of random matrices and family of random metrics on the naturals.

研究の動機と目的

• 距離行列の凸錐を用いたポーランド空間の分類のための普遍的枠組みの構築。
• この錐内でのポーランド空間の一般的性質の特定。特に、ウリソン空間が一般に現れることの証明。
• ボレル確率測度を伴う距離空間の測度を保全する等長写像に関して完全不変量を定義する—行列分布。
• 距離行列の錐上の不変測度を用いた自然数上でのランダム距離の構成。
• 距離行列の錐の幾何学的・位相的性質と、普遍的距離構造との関係の探求。

提案手法

• 距離行列の空間 $\cal R$ は、対角成分が0で三角不等式を満たす無限実対称行列の凸錐として定義される。
• 錐 $\cal R$ には弱位相が導入され、その構造は有限次元射影 $\cal R_n$ およびそれらの上へのファイブレーションを用いて分析される。
• Minkowski和と $\mathbb{R}_+^n$ 上の連続基底測度 $\gamma$ を用いた積測度を活用し、ファイバー $A(r)$ 上の条件付き測度を再帰的に構成することで、$\cal R$ 上の測度の構成が行われる。
• Kolmogorovの拡張定理を用いて、有限次元射影 $\nu_n$ から一貫性のある確率測度 $\nu$ を $\cal R$ 上に構成する。
• 行列分布は、$\cal R$ 上の $S_{\infty}$-不変でエルゴード的な測度として定義され、距離三重組（ボレル確率測度を伴う距離空間）の完全不変量として機能する。
• この構成により、$\nu$-ほとんど everywhere の行列が完成化によってウリソン空間を生成することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離行列の視点から見たとき、ポーランド空間の普遍的構造は何か？
• RQ2 行列分布が、測度を保全する等長写像に関して距離測度空間の完全不変量としてどのように機能するか？
• RQ3 距離行列の錐における一般性の役割は何か？また、ウリソン空間とはどのように関係するか？
• RQ4 自然数上にランダム距離を構成する方法は存在するか？その完成化が確率1でウリソン空間になるように。
• RQ5 与えられた分布が $\cal R_n$ 上に与えられたとき、ウリソン空間上に非退化な測度を定義し、$n$ 個の独立に選ばれた点の同時分布がその分布と一致するようにできるか？

主な発見

• ユニバーサル距離行列（ウリソン空間を生成するもの）の集合は、錐 $\cal R$ の中で $G_\delta$ 稠密部分集合である。これは、位相的意味での一般性を示している。
• 行列分布—$S_{\infty}$-不変でエルゴード的な測度—は、ボレル確率測度を伴う距離空間の測度を保全する等長写像に関して完全不変量である。
• ファイバー $A(r)$ 上の条件付き測度を用いた構成により、$\nu$-ほとんど everywhere の行列が完成化によってウリソン空間を生成するような確率測度 $\nu$ が $\cal R$ 上に構成される。
• 一般の距離三重組（すなわち、ボレル確率測度を伴うポーランド空間）は、非退化測度を備えたウリソン空間と等長写像で同一視可能である。
• 行列分布の空間は、自然数上でのランダム行列およびランダム距離の自然なクラスを形成し、組合せ論におけるErdős–Rényiのランダムグラフモデルに類似している。
• このような測度の構成は、組合せ的性質を持つ：独立で連続的な距離分布に従って点をランダムに追加すると、ほとんど確実にウリソン空間が得られる。