[論文レビュー] Distance Preserving Graphs

Emad Zahedi|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、すべての可能な順序の等長部分グラフを含む距離を保つ（dp）グラフ—つまり、すべての順序 1 から |V(G)| までの等長部分グラフを含むグラフ—を導入する。この論文は、単体的頂点をdpグラフに追加してもdp性質が保たれることを示すことにより、弦的グラフがdpであることを証明する。また、グラフがdpでないことを示すためのgirthに基づく条件（girth ≥ 5 かつすべての頂点が切断頂点またはサイクル上にある）を確立する。

ABSTRACT

Given a graph $G$ then a subgraph $H$ is $isometric$ if, for every pair of vertices $u,v$ of $H$, we have $d_H(u,v) = d_G(u,v)$. We say a graph $G$ is $distance\ preserving\ (dp)$ if it has an isometric subgraph of every possible order up to the order of $G$. We consider how to add a vertex to a dp graph so that the result is a dp graph. This condition implies that chordal graphs are dp. We also find a condition on the girth of $G$ which implies that it is not dp. In closing, we discuss other work and open problems concerning dp graphs.

研究の動機と目的

• 距離を保つ（dp）グラフを定義・特徴づけること。dpグラフは、|V(G)| までのすべての順序の等長部分グラフを含む。
• dpグラフに頂点を追加する際、dp性質が保たれる条件を調査すること。
• 特にサイクル長と頂点の種類に関連する構造的制約—特に、グラフがdpでなくなる原因となる要因—を同定すること。
• 木以外のグラフクラスに、特に弦的グラフを含むdpグラフのクラスを拡張すること。
• dpグラフの密度および構造的性質に関する未解決問題と予想を特定すること。

提案手法

• すべての頂点ペア間の距離が誘導部分グラフに保たれる等長部分グラフの概念を使用する。
• 頂点数に関する帰納法を用い、K₁から始めて、特定の近傍性質を持つ頂点を追加することでdpグラフを構成する。
• 単体的頂点（近傍がクリークをなす頂点）の概念を用いて、弦的グラフがdpであることを証明する。
• 緩い条件を導入する：ある頂点の非隣接近傍が共通の4サイクル上にある場合、そのような頂点を追加してもdp性質が保たれる。
• 測地線パスにおける背理法を用いて、特定の近傍構造を持つ頂点を削除しても部分グラフが等長のまま保たれることを示す。
• girth解析を用いて、girth ≥ 5 かつ3-または4サイクルを含まないグラフは、|V|−1 順序の等長部分グラフを持たないため、dpでないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dpグラフに頂点を追加する際、どのような条件下で新たなdpグラフが得られるか？
• RQ2 すべての弦的グラフは距離を保つのか？ もしそうなら、その理由は何か？
• RQ3 特にサイクル長と頂点の種類に関連する構造的性質—特に、グラフがdpでなくなる原因となる要因—は何か？
• RQ4 dpグラフのクラスは、木や弦的グラフを超えて拡張可能か？
• RQ5 直径2を持つグラフがほとんどであることを踏まえると、ほとんどすべてのグラフがdpであるという主張は正しいか？

主な発見

• 弦的グラフは、単体的頂点の削除順序を用いた帰納法により、dpであることが証明された。
• グラフ G が、すべての非隣接近傍ペアが共通の4サイクル上にあり、かつ G−v がdpであるような頂点 v を含むならば、G はdpである。
• girth ≥ 5 であり、かつすべての頂点が切断頂点またはサイクル上にあるようなグラフ G は、|V(G)|−1 順序の等長部分グラフを持たないため、dpでない。
• 単体的頂点の補題の逆は成り立たない：dpグラフから単体的頂点を削除しても、得られる部分グラフがdpでないことがある。C₅の反例により示された。
• dpグラフ G と任意のグラフ H との辞書的積もまたdpである。
• 逐次的にdpであるグラフ G と任意のdpグラフ H とのカルテシアン積もdpであり、積構成法によりdpグラフのクラスが拡張される。