[論文レビュー] Distance proper connection of graphs

Xueliang Li, Colton Magnant+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、辺彩色されたグラフにおける距離ℓ-適正接続の概念を導入し、すべての頂点対間でk個の内部頂点に交わらない距離ℓ-適正パスが存在するようにするための最小色数である(k,ℓ)-適正接続数を定義する。任意の2連結グラフGに対して、(1,2)-適正接続数pc₁,₂(G) ≤ 5であることを証明し、ほとんどすべてのグラフの結合とカルテシアン積に関しては3が鋭い上界であることを確立した。また、木、完全グラフ、ホイール、立方体、およびトレーサブルグラフの置換グラフに対しては正確な値が決定された。

ABSTRACT

Let $G$ be an edge-colored connected graph. A path $P$ in $G$ is called a distance $\ell$-proper path if no two edges of the same color appear with fewer than $\ell$ edges in between on $P$. The graph $G$ is called $(k,\ell)$-proper connected if every pair of distinct vertices of $G$ are connected by $k$ pairwise internally vertex-disjoint distance $\ell$-proper paths in $G$. For a $k$-connected graph $G$, the minimum number of colors needed to make $G$ $(k,\ell)$-proper connected is called the $(k,\ell)$-proper connection number of $G$ and denoted by $pc_{k,\ell}(G)$. In this paper, we prove that $pc_{1,2}(G)\leq 5$ for any $2$-connected graph $G$. Considering graph operations, we find that $3$ is a sharp upper bound for the $(1,2)$-proper connection number of the join and the Cartesian product of almost all graphs. In addition, we find some basic properties of the $(k,\ell)$-proper connection number and determine the values of $pc_{1,\ell}(G)$ where $G$ is a traceable graph, a tree, a complete bipartite graph, a complete multipartite graph, a wheel, a cube or a permutation graph of a nontrivial traceable graph.

研究の動機と目的

• 辺彩色されたグラフにおける距離ℓ-適正パスおよび(k,ℓ)-適正接続性の概念を導入し、形式化すること。
• 木、完全二部グラフ、ホイール、立方体、および置換グラフなどのさまざまなグラフ族における(1,2)-適正接続数pc₁,₂(G)を特定すること。
• 結合やカルテシアン積などのグラフ演算におけるpc₁,₂(G)の鋭い上界を確立すること。
• (k,ℓ)-適正接続とレインボー接続や適正接続といった既存の概念との関係を調査すること。

提案手法

• 同じ色の2つの辺が互いにℓ個未満の辺をはさんで現れないパスを距離ℓ-適正パスと定義する。
• すべての頂点対間でk個の内部頂点に交わらない距離ℓ-適正パスが存在するようにするための最小色数として、(k,ℓ)-適正接続数pcₖ,ℓ(G)を定義する。
• 距離ℓ-適正性を保つように、再帰的かつ構成的な彩色技法を用いてパスやサイクルの辺に色を割り当てる。
• 構造的グラフ理論およびパス分解を用いて、トレーサブルグラフ、完全多部グラフ、および置換グラフなどのグラフ族を分析する。
• 対称性や色の列を用いて、星、立方体、およびカルテシアン積などの特定のグラフに対して明示的な(1,2)-適正パス彩色を構成する。
• すべての構成された彩色が、すべての頂点対間で有効な(1,2)-適正パスを生成することを検証し、上界が鋭いかどうかを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2連結グラフGに対して、pc₁,₂(G)の最大値は何か？
• RQ2 特に一方がスターブロックの場合、2つのグラフの結合およびカルテシアン積の(1,2)-適正接続数は何か？
• RQ3 木、完全二部グラフ、ホイール、および立方体といった特殊なグラフクラスの(1,2)-適正接続数は何か？
• RQ4 トレーサブルグラフの置換グラフの(1,ℓ)-適正接続数はℓの関数として有界にできるか？
• RQ5 Gがスターブロックで、Hが半径3以上のスパニングツリーを持つ場合、pc₁,₂(S□T)の上界4は鋭いか？

主な発見

• 任意の2連結グラフGに対して、(1,2)-適正接続数はpc₁,₂(G) ≤ 5を満たす。
• ほとんどすべてのグラフの結合およびカルテシアン積の(1,2)-適正接続数は3以下であり、これは鋭い上界である。
• トレーサブルグラフGに対して、その置換グラフの(1,ℓ)-適正接続数はpc₁,ℓ(Pₐ(G)) ≤ ℓ + 1を満たす。
• 木の(1,2)-適正接続数は2であり、完全二部グラフK_{m,n}のそれは3である。
• ホイールW_n（n ≥ 4）の(1,2)-適正接続数は3であり、立方体のそれは3である。
• 非自明なトレーサブルグラフの置換グラフに対して、任意の置換αについてpc₁,ℓ(Pₐ(G)) ≤ ℓ + 1が成り立つ。