[論文レビュー] Distance-regular graph with large a1 or c2

Jack H. Koolen, Jongyook Park|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$a_1$ または $c_2$ が大きい距離正則グラフを分類し、直径が3以上の場合、有限個の例外を除き、それらのグラフはターラー・グラフ、直径3の二部グラフ、またはライン・グラフであることを示している。主な結果は、$c_2 > \frac{1}{2}k$ であるグラフに対する以前の境界を拡張し、$a_1 \geq \frac{1}{2}k - 1$ であるグラフを分類し、ジョンソン・グラフ $J(7,3)$ とハーフド・7-シックス・キューブが、ライン・グラフでもターラー・グラフでもない唯一の例外であることを特定している。

ABSTRACT

In this paper, we study distance-regular graphs $Γ$ that have a pair of distinct vertices, say x and y, such that the number of common neighbors of x and y is about half the valency of $Γ$. We show that if the diameter is at least three, then such a graph, besides a finite number of exceptions, is a Taylor graph, bipartite with diameter three or a line graph.

研究の動機と目的

• 隣接頂点の共通近傍数（$a_1$）が正則度の半分未満1以上である距離正則グラフを分類すること。
• 特に、$c_2 > \frac{1}{2}k$ であるグラフに対する以前の結果を拡張し、大きな $c_2$ を持つグラフの分類を行うこと。
• 固定頂点から距離2の頂点数 $k_2$ が $\frac{3}{2}k$ 未満であるようなグラフを分析すること。
• 特にターラー・グラフとライン・グラフの文脈において、このようなグラフが無限に存在するかどうかを特定すること。
• 正の $\varepsilon$ に対して、$k_2 \leq (2 - \varepsilon)k$ を満たす距離正則グラフが、多角形とターラー・グラフを除き、直径が3以上の場合に有限個しか存在しないことを証明すること。

提案手法

• 交差配列解析と固有値の境界を用いて、$a_1$ や $c_2$ が大きい距離正則グラフの構造を制約する。
• Bose-Mesner代数と固有値の入れ子を用いて、最大固有値の重複度 $m_1$ の境界を導出する。
• 固有値 $\theta_1$ の推定に、方程式 $\theta_1 \geq \min\{a_1 + 1, a_3\}$ を適用する。
• $k_2 \leq \frac{3}{2}k$ の条件を課して、距離2の頂点数を制限し、$v$ と $k$ の境界を導く。
• コンピュータによる検証を用いて、$k \leq 1127$ の範囲で、$m_1 < \frac{1}{2}k$、$\theta_1 = \frac{b_1}{2} - 1$、$k_2 \leq \frac{3}{2}k$ の制約を満たす実行可能な交差配列を確認する。
• Brouwer, Cohen, and Neumaier (1989) の定理 4.4.11 および 5.3.2 などの既知の距離正則グラフ理論の結果を適用し、不可能な構成を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径が3以上である距離正則グラフで、$a_1 \geq \frac{1}{2}k - 1$ を満たし、ライン・グラフやターラー・グラフ以外に存在するものは何か？
• RQ2 直径が3以上である距離正則グラフで、$c_2 > \frac{1}{2}k$ を満たすグラフの構造は何か？
• RQ3 多角形とターラー・グラフを除き、直径が3以上で $k_2 \leq \frac{3}{2}k$ を満たす距離正則グラフが無限に存在するか？
• RQ4 このようなグラフの存在を制限する固有値と重複度の制約は何か？
• RQ5 $a_1 \geq \frac{1}{2}k - 1$ を満たすグラフの分類を、非ライン・グラフおよび非ターラー・グラフを含む形に拡張できるか？

主な発見

• 直径が3以上の場合、$a_1 \geq \frac{1}{2}k - 1$ を満たす距離正則グラフは、ライン・グラフ、ターラー・グラフ、ジョンソン・グラフ $J(7,3)$、またはハーフド・7-シックス・キューブのいずれかである。
• ジョンソン・グラフ $J(7,3)$ は正則度 $k = 12$ で $k_2 = 35$ を持ち、条件を満たす非ライン・グラフ・非ターラー・グラフの唯一の例である。
• ハーフド・7-シックス・キューブは $k = 12$ で $k_2 = 35$ を持ち、分類において唯一の非ライン・グラフ・非ターラー・グラフである。
• 直径3、$k_2 \leq \frac{3}{2}k$、$m_1 < \frac{1}{2}k$、$k \leq 1127$ の制約下で、実行可能な交差配列は存在しない。
• 解析により、$m_1 < \frac{1}{2}k$ かつ $\theta_1 = \frac{b_1}{2} - 1$ を満たすグラフでは $k \leq 1127$ であり、網羅的なコンピュータ探索の結果、このようなグラフは存在しない。
• 正の $\varepsilon$ に対して $k_2 \leq (2 - \varepsilon)k$ を満たす距離正則グラフは、多角形とターラー・グラフを除き、直径が3以上の場合に有限個しか存在しない。