[論文レビュー] Distance spectra and Distance energy of Integral Circulant Graphs

Aleksandar Ili ' c|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Graph theory and applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、整数巡回グラフ（ICG）の距離スペクトルと距離エネルギーを特徴づけ、その距離行列が整数固有値を持つことを証明する。ユニタリケイリー・グラフの距離エネルギーに対する正確な公式を導出し、剰余の数論的性質とラマヌジャン和を用いて、二つの無限族の非コスペクトル的で距離等エネルギーなICGを構成する。一つは一方のグラフが他方の部分グラフであるもので、もう一つは直径3のものである。

ABSTRACT

The distance energy of a graph $G$ is a recently developed energy-type invariant, defined as the sum of absolute values of the eigenvalues of the distance matrix of $G$. There was a vast research for the pairs and families of non-cospectral graphs having equal distance energy, and most of these constructions were based on the join of graphs. A graph is called circulant if it is Cayley graph on the circulant group, i.e. its adjacency matrix is circulant. A graph is called integral if all eigenvalues of its adjacency matrix are integers. Integral circulant graphs play an important role in modeling quantum spin networks supporting the perfect state transfer. In this paper, we characterize the distance spectra of integral circulant graphs and prove that these graphs have integral eigenvalues of distance matrix $D$. Furthermore, we calculate the distance spectra and distance energy of unitary Cayley graphs. In conclusion, we present two families of pairs $(G_1, G_2)$ of integral circulant graphs with equal distance energy -- in the first family $G_1$ is subgraph of $G_2$, while in the second family the diameter of both graphs is three.

研究の動機と目的

• 整数巡回グラフ（ICG）の距離スペクトルを特徴づけ、その距離固有値が常に整数であることを証明すること。
• 数論的手法を用いてユニタリケイリー・グラフの距離エネルギーを計算すること。
• グラフ積や線グラフに依存しない、非コスペクトル的で距離等エネルギーなICGの無限族を構成すること。
• 量子スピンネットワークと完全状態トランスファーに関連するICGの構造的およびスペクトル的性質を調査すること。
• 除数集合と乗法的関数に基づく、既存の等エネルギーグラフの結果を拡張する、新しい構成法を導入すること。

提案手法

• n の適切な正の約数の集合 D を用いて、Z_n 上のケイリー・グラフとして ICG_n(D) を定義する。ここで、a−b の gcd が D に属する整数 a,b 間に辺が存在する。
• 距離固有値 μ_r を加法的結合によって計算するために、ラマヌジャン和 c(r,n) = ∑_{d|gcd(r,n)} μ(d) · e^{2πi r/d} を適用する。
• 距離固有値を Ramanujan 和と約数構造を用いて表す式 μ_r = ∑_{d∈D} c(r, n/d) を用いる。
• オイラーのトーティエント関数 φ(n) の乗法的性質と、n = 2^k·m の構造を用いて、場合分けを行い閉形式の表現を導出する。
• gcd(r,n) に基づくスペクトル分解と重複度の数え上げを用いて、距離エネルギーを絶対固有値の和として計算する。
• r が n の約数についての法に従う場合分けにより、ICG_n(1) や ICG_n(1,p) などの特定の ICG に対して距離エネルギーの公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数巡回グラフの距離スペクトルの構造は何か？ また、その距離固有値は常に整数か？
• RQ2 数論的道具を用いて、ユニタリケイリー・グラフの距離エネルギーに対する閉形式の表現を導出できるか？
• RQ3 グラフ積や線グラフに依存しない、非コスペクトル的で等エネルギーな整数巡回グラフの無限族は存在するか？
• RQ4 ICG の直径が距離エネルギーに与える影響、特に直径3の場合にどのような影響があるか？
• RQ5 どのような数論的条件下で ICG_n(1) と ICG_n(1,p) が等しい距離エネルギーを持つのか？ これは量子ネットワーク設計に何を示唆するか？

主な発見

• 任意の整数巡回グラフの距離行列は整数固有値を持つ。これは ICG が D-整数的であることを確認する。
• ユニタリケイリー・グラフ ICG_n(1) の距離エネルギーは、n=pq のとき DE(ICG_n(1)) = 6(φ(n)−1)·2 − n + 2(2−p)(2−q) であり、奇素数 p,q に対して 6(p−1)(q−1) に簡略化される。
• ICG_{3p}(1) が ICG_{3p}(1,p) の部分グラフであり、両者とも距離エネルギーが 6(p−1)(2) に等しい、等エネルギー ICG の族が存在する（p>3）。
• 異なる奇素数 p,q に対して n=2pq のとき、グラフ ICG_{2pq}(1,p) と ICG_{2pq}(1,q) は非コスペクトル的で等エネルギー的であり、DE = 12pq − 4p − 4q − 4 である。
• ICG_{2pq}(1,p) と ICG_{2pq}(1,q) の直径は3であり、これはグラフ積や繰り返し線グラフに依存しない、最初のこのような等エネルギー族を示す。
• 距離固有値はラマヌジャン和を用いて計算され、gcd(r,n) に基づいてグループ化され、正確な重複度の数え上げとエネルギーの和が可能になる。