[論文レビュー] Distances between non--symmetric convex bodies and the $MM^*$-estimate

Mark Rudelson|ArXiv.org|Dec 1, 1998

Point processes and geometric inequalities参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、差分体技術を活用して、非対称な凸体に対して $MM^*$-推定値を確立し、絶対定数 $C$ および $a$ に対して $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$ を証明する。これにより、任意の $n$ 次元凸体同士の距離について、対数因子を除いて $n^{4/3}$ の鋭い上界が得られる。

ABSTRACT

Let $K, D$ be $n$-dimensional convex bodes. Define the distance between $K$ and $D$ as $$ d(K,D) = \inf \{λ| T K \subset D+x \subset λ\cdot TK \}, $$ where the infimum is taken over all $x \in R^n$ and all invertible linear operators $T$. Assume that 0 is an interior point of $K$ and define $$ M(K) =\int_{S^{n-1}} \| ω\|_K d μ(ω), $$ where $μ$ is the uniform measure on the sphere. Let $K^{\circ}$ be the polar body of $K$. We use the difference body estimate to prove that $K$ can be embedded into $R^n$ so that $$ M(K) \cdot M(K^{\circ}) \le C n^{1/3} \log^a n $$ for some absolute constants $C$ and $a$. We apply this result to show that the distance between two $n$-dimensional convex bodies does not exceed $n^{4/3}$ up to a logarithmic factor.

研究の動機と目的

• 非対称な凸体に対する $MM^*$-推定値を $n$ 次元空間で確立すること。
• 関数 $M(K)$ を用いて $M(K) \cdot M(K^\circ)$ を評価すること、ここで $M(K)$ は球面上での単位ベクトルの $L^1$ ノルムの平均である。
• 差分体推定値を主要な道具として用い、$MM^*$-推定値を導出すること。
• 得られた推定値を用いて、任意の二つの $n$ 次元凸体間の距離を制御すること。
• $MM^*$-枠組みを用いて非対称性を組み込むことで、凸体間の距離に関する既知の上界を改善すること。

提案手法

• 線形変換と平行移動を用いて凸体 $K$ と $D$ 間の距離を定義する：$d(K,D) = \inf \{ \lambda \mid TK \subset D + x \subset \lambda TK \}$。
• 関数 $M(K)$ を $M(K) = \int_{S^{n-1}} \| \omega \|_K \, d\mu(\omega)$ として定義し、$K$ 内の単位ベクトルの平均ノルムを測定する。
• 差分体推定値を用いて、$K$ 及びその極 $K^\circ$ の幾何的性質を制御する。
• 対称化および積分幾何学的手法を用いて、$M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$ という主要な不等式を導出する。
• $MM^*$-推定値を用いて距離推定値 $d(K,D) \leq C n^{4/3} \log^a n$ を導出する。ここで $K, D$ は任意の $n$ 次元凸体である。
• 原点 $0$ が $K$ の内部点であることを利用して、$M(K)$ 関数および極体 $K^\circ$ の定義が正しく行われることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称な凸体 $K$ に対して、$M(K) \cdot M(K^\circ)$ の最良の上界は何か？
• RQ2 差分体推定値を用いて、非対称な凸体に対して $MM^*$-型不等式を導出できるか？
• RQ3 $MM^*$-枠組みのもとで、二つの $n$ 次元凸体間の距離は次元 $n$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 対称性を仮定しない場合、距離の $n$ への鋭い依存関係は何か？
• RQ5 積分幾何学および関数解析を用いて、$MM^*$-推定値を対称な体を超えて拡張できるか？

主な発見

• 論文は、絶対定数 $C$ および $a$ に対して $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$ が成り立つことを確立し、以前の上界を改善した。
• この上界は、$n$ 次元凸体幾何における差分体推定値および対称化技術を用いて導出された。
• 任意の二つの $n$ 次元凸体間の距離は、対数因子を除いて $C n^{4/3} \log^a n$ 以下である。
• この結果は、凸体の対称性を仮定せず、$MM^*$-推定値が非対称の場合にまで拡張されたことを示している。
• 関数 $M(K)$ は境界の平均 $L^1$-ノルムを捉えており、距離推定の主要な道具である。
• 証明は、球面上の一様測度および極体 $K^\circ$ の幾何学的性質に依存し、積 $M(K)M(K^\circ)$ の制御がなされている。