[論文レビュー] Distinct and repeated distances on a surface and incidences between points and spheres

Micha Sharir, Noam Solomon|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元空間における点と球の交差に関する新たな境界を確立し、点が定数次数の代数的曲面上にある場合に、より強い異なる距離の下界（$\Omega(n^{7/9}/{\rm polylog}\,n)$）およびユニット距離のタイトな上界（$O(n^{4/3})$）を導出する。この結果は、円形構造を考慮した新規の交差境界に基づくもので、球の退化性に関する制限を撤廃し、任意の点-曲面配置に一般化している。

ABSTRACT

In this paper we show that the number of distinct distances determined by a set of $n$ points on a constant-degree two-dimensional algebraic variety $V$ (i.e., a surface) in $\mathbb R^3$ is at least $Ω\left(n^{7/9}/{ m polylog} \,n ight)$. This bound is significantly larger than the conjectured bound $Ω(n^{2/3})$ for general point sets in $\mathbb R^3$. We also show that the number of unit distances determined by $n$ points on a surface $V$, as above, is $O(n^{4/3})$, a bound that matches the best known planar bound, and is worst-case tight in 3-space. This is in sharp contrast with the best known general bound $O(n^{3/2})$ for points in three dimensions. To prove these results, we establish an improved upper bound for the number of incidences between a set $P$ of $m$ points and a set $S$ of $n$ spheres, of arbitrary radii, in $\mathbb R^3$, provided that the points lie on an algebraic surface $V$ of constant degree, which does not have linear or spherical components. Specifically, the bound is $$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^β(m^4/n) + m + n + \sum_{c} |P_{c}|\cdot |S_{c}| ight) , $$ where the constant of proportionality and the constant exponent $β$ depend on the degree of $V$, and where the sum ranges over all circles $c$ that are fully contained in $V$, so that, for each such $c$, $P_c = P\cap c$ and $S_c$ is the set of the spheres of $S$ that contain $c$. In addition, $\sum_{c} |P_{c}| = O(m)$ and $\sum_{c} |S_{c}| = O(n)$. This bound too improves upon earlier known bounds. These have been obtained for arbitrary point sets but only under severe restrictions about the spheres, which are dropped in our result. Another interesting application of our result is an incidence bound for arbitrary points and spheres in 3-space, where we improve and generalize the previous work of Apfelbaum and Sharir[AS].

研究の動機と目的

• 3次元空間における定数次数の代数的曲面上に位置する$n$個の点が定める異なる距離の数に対するより鋭い境界を確立すること。
• このような曲面上でのユニット距離の数に対する改善された上界を導出すること。これは、既知の平面での最良の境界と一致する。
• 点が曲面上に存在するが、平面的または球面的成分を含まない場合の、3次元空間における点と球の間の交差境界を洗練すること。
• アプフェルバウムとシャーリルの結果を一般化し、球の非退化性に関する制限を撤廃することで、先行研究を改善すること。
• 交差結果を繰り返し距離問題や異なる距離問題に応用し、より高次元の曲面族への拡張を提案すること。

提案手法

• 空間を細胞に分割する多項式分割法を用い、各細胞に有界な数の点と球が含まれるようにする。
• 交差数を2つの部分に分割する：$I_0(P,S)$ は、大きな完全二部グラフ部分集合によって説明されない「偶然の」交差を数え、円$c$に関する和は、曲面$V$に完全に含まれる円と、複数の球に含まれる交差を表す。
• $I_0(P,S)$ の境界は帰納法と分割解析により導出され、$O(m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^\beta(m^4/n) + m + n + \sum_c |P_c|\cdot|S_c|)$ となる。ここで$\beta$と定数は曲面の次数に依存する。
• 円$c$に関する和$\sum_c |P_c| = O(m)$および$\sum_c |S_c| = O(n)$を考慮に入れ、合計寄与が有界に保たれることを保証する。
• この手法は、曲面上に制限されない任意の点集合に対しても一般化可能であり、球の非退化性に関する仮定を撤廃することで、アプフェルバウムとシャーリルの境界を改善する。
• 代数幾何学、多項式法、組合せ的交差理論のツールを統合し、構造的な点-球配置を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間における定数次数の代数的曲面上に位置する$n$個の点が定める異なる距離の最小数は何か？
• RQ2 このような曲面上でのユニット距離の数は、3次元空間の一般の$O(n^{3/2})$の境界よりもタイトに抑えられるか？
• RQ3 点が曲面上にある場合に、特に球が退化可能または任意の半径をとれる場合に、点-球交差境界をどのように改善できるか？
• RQ4 この交差境界をより高次元の代数的曲面族やより一般の配置に拡張できるか？
• RQ5 これらの交差境界は、曲面制約なしの3次元空間における異なる距離問題およびユニット距離問題にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• 3次元空間における定数次数の代数的曲面上に位置する$n$個の点が定める異なる距離の数は、少なくとも$\Omega(n^{7/9}/{\rm polylog}\,n)$である。これは、一般の3次元点集合に対して予想される$\Omega(n^{2/3})$よりも顕著に向上している。
• このような曲面上に位置する$n$個の点が定めるユニット距離の数は$O(n^{4/3})$である。これは、既知の平面での最良の境界と一致し、3次元空間において最悪ケースでタイトである。
• 3次元空間における$m$個の点と$n$個の球の間の交差境界が、$O(m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^\beta(m^4/n) + m + n + \sum_c |P_c|\cdot|S_c|)$ として確立された。ここで$c$は曲面に完全に含まれる円を表す。
• すべての円$c$についての$|P_c|$の和は$O(m)$、$|S_c|$の和は$O(n)$である。これにより、境界が効率的かつ構造的であることが保証される。
• 球の非退化性を仮定する必要がなくなるため、アプフェルバウムとシャーリルの結果[5]を改善しており、任意の半径に適用可能である。
• ザールの結果[42]の一般化をもたらし、主項が彼の境界と一致するが、交差グラフが固定サイズの完全二部グラフ部分集合を避ける必要がない。