[論文レビュー] Distinguished dimensions for special Riemannian geometries

Paweł Nurowski|ArXiv.org|Jan 2, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$H_k = \mathrm{SO}(3), \mathrm{SU}(3), \mathrm{Sp}(3), \mathbf{F}_4$ を構造群とする特別なリーマン幾何を、次元 $n_k = 5, 8, 14, 26$ で同定する。これらは、これらの群に不変な三重対称形式から生じる。このような幾何が全偏角的非可換ねじれを持つ特徴的接続を有するための必要十分条件を確立し、次元8における非自明な例を構成した。その例は、リーマン接続および特徴的接続の両方でアインシュタイン方程式を満たす非自明なねじれを有する。

ABSTRACT

The paper is based on relations between a ternary symmetric form defining the SO(3) geometry in dimension five and Cartan's works on isoparametric hypersurfaces in spheres. As observed by Bryant such a ternary form exists only in dimensions n_k=3k+2, where k=1,2,4,8. In these dimensions it reduces the orthogonal group to the subgroups H_k\subset SO(n_k), with H_1=SO(3), H_2=SU(3), H_4=Sp(3) and H_8=F_4. This enables studies of special Riemannian geometries with structure groups H_k in dimensions n_k. The neccessary and sufficient conditions for the H_k geometries to admit the characteristic connection are given. As an illustration nontrivial examples of SU(3) geometries in dimension 8 admitting characteristic connection are provided. Among them there are examples having nonvanishing torsion and satisfying Einstein equations with respect to either the Levi-Civita or the characteristic connections.

研究の動機と目的

• 三重対称形式が直交群を特別な部分群 $H_k$ に縮小させるような次元と幾何的構造を同定すること。
• $H_k$-幾何において、全偏角的非可換ねじれを持つ特徴的接続が存在するための必要十分条件を特定すること。
• 次元8における非自明な $\mathrm{SU}(3)$-幾何の例を、非自明なねじれを有し、リーマン接続および特徴的接続の両方でアインシュタイン方程式を満たすように構成すること。
• リー群の「魔法の正方形」が、高次元における10個の追加の特別なリーマン幾何クラスの構成に与える影響を検討すること。
• 次元8における $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$-構造を特別なケースとして分析し、$\mathrm{SO}(8)$ をこの部分群に縮小するテンソルを同定すること。

提案手法

• カタンの球面上の等曲率超曲面理論に由来する、$H_k \subset \mathrm{SO}(n_k)$ の部分群に不変な三重対称形式の代数的構造を用いる。
• 近似的可積分性条件 $\nabla^{\mathrm{LC}}_v \Upsilon(v,v,v) \equiv 0$ を適用し、全偏角的非可換ねじれを持つ一意な $\mathfrak{so}(3)$-値特徴的接続 $\nabla^T$ を定義する。
• $\mathrm{SU}(3)$, $\mathrm{Sp}(3)$, $\mathbf{F}_4$ の表現論を用いて、接空間の分解と構造群の作用を分析する。
• 「魔法の正方形」構成を用い、次元12, 18, 30, 54, 28, 40, 64, 112における追加の特別なリーマン幾何のクラスを予測する。構造群は $\mathbf{U}(3)$, $\mathbf{S}({\rm U}(3)\times{\rm U}(3))$, $\mathbf{U}(6)$, $\mathbf{E}_6\times\mathrm{SO}(2)$, $\mathbf{Sp}(3)\times\mathrm{SU}(2)$, $\mathbf{SU}(6)\times\mathrm{SU}(2)$, $\mathbf{SO}(12)\times\mathrm{SU}(2)$, $\mathbf{E}_7\times\mathrm{SU}(2)$ である。
• 次元8における明示的例を、$3\times3$ 実対称トレースフリー行列の行列式によって定義される3階テンソル $\Upsilon$ を用いて構成し、特徴的接続の存在を検証する。
• $\mathrm{SO}(8)$ における $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$-構造を、構造群をこの積に縮小するテンソルを同定することにより分析し、さらなる研究の基盤を築く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次元 $n$ において、代数的恒等式 $\Upsilon_{jki}\Upsilon_{lmi} + \Upsilon_{lji}\Upsilon_{kmi} + \Upsilon_{kli}\Upsilon_{jmi} = g_{jk}g_{lm} + g_{lj}g_{km} + g_{kl}g_{jm}$ を満たす対称的かつトレースフリーな三重テンソル $\Upsilon_{ijk}$ が存在するか？
• RQ2 リーマン多様体上の $H_k$-構造が、全偏角的非可換ねじれを持つ特徴的接続を有するための必要十分条件は何か？
• RQ3 次元8における非自明な $\mathrm{SU}(3)$-幾何の例を、非自明なねじれを持つ特徴的接続を有し、リーマン接続および特徴的接続の両方でアインシュタイン方程式を満たすように構成できるか？
• RQ4 「魔法の正方形」リー群は、10個の追加の特別なリーマン幾何クラスの存在をどのように示唆するか？それぞれの次元と構造群は何か？
• RQ5 $\mathrm{SO}(8)$ を $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$ に縮小するテンソル構造は何か？その幾何的意味は何か？

主な発見

• $k=1,2,4,8$ に対して $n_k = 3k+2$ である唯一の次元で、必要な代数的恒等式を満たす三重対称形式 $\Upsilon$ が存在し、$\mathrm{SO}(n_k)$ を $H_k = \mathrm{SO}(3), \mathrm{SU}(3), \mathrm{Sp}(3), \mathbf{F}_4$ に縮小する。
• $H_k$-幾何において、全偏角的非可換ねじれを持つ特徴的接続が存在することは、近似的可積分性条件 $\nabla^{\mathrm{LC}}_v \Upsilon(v,v,v) \equiv 0$ と同値である。
• 次元8における $\mathrm{SU}(3)$-幾何の明示的例が、11次元の対称性群と $\mathrm{SU}(3)$ の27次元既約表現におけるねじれを有し、特徴的接続に関してアインシュタイン方程式を満たすように構成された。
• 次元8では、9次元の対称性群とベクトル型ねじれを有する例も存在し、特徴的接続に関してアインシュタイン方程式を満たす。
• $\mathrm{SO}(8)$ における $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$-構造は、$3\times3$ 対称行列の行列式から導かれる特定のテンソルによって特徴づけられ、構造群をこの積に縮小する。
• 「魔法の正方形」構成は、次元12, 18, 30, 54, 28, 40, 64, 112における10個の追加の特別なリーマン幾何クラスの存在を予測する。構造群は $\mathbf{U}(3)$, $\mathbf{S}({\rm U}(3)\times{\rm U}(3))$, $\mathbf{U}(6)$, $\mathbf{E}_6\times\mathrm{SO}(2)$, $\mathbf{Sp}(3)\times\mathrm{SU}(2)$, $\mathbf{SU}(6)\times\mathrm{SU}(2)$, $\mathbf{SO}(12)\times\mathrm{SU}(2)$, $\mathbf{E}_7\times\mathrm{SU}(2)$ である。