[論文レビュー] Distinguishing quantum states using Clifford orbits

Richard Kueng, Huangjun Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、クリフォード群の軌道に基づく測定を用いた量子状態の区別可能性を調査し、安定化子測定（クリフォード群から導かれる測定）が純粋な量子状態を区別する際に本質的に最適であることを示している。主な貢献は、状態の有効ランクと位相空間への局在化に依存するPOVMノルム定数の定量的評価であり、純粋状態に対して安定化子測定はほぼ最適な性能を達成する。

ABSTRACT

It is a fundamental property of quantum mechanics that information is lost as a result of performing measurements. Indeed, with every quantum measurement one can associate a number -- its POVM norm constant -- that quantifies how much the distinguishability of quantum states degrades in the worst case as a result of the measurement. This raises the obvious question which measurements preserve the most information in these sense of having the largest norm constant. While a number of near-optimal schemes have been found (e.g. the uniform POVM, or complex projective 4-designs), they all seem to be difficult to implement in practice. Here, we analyze the distinguishability of quantum states under measurements that are orbits of the Clifford group. The Clifford group plays an important role e.g. in quantum error correction, and its elements are considered simple to implement. We find that the POVM norm constants of Clifford orbits depend on the effective rank of the states that should be distinguished, as well as on a quantitative measure of the "degree of localization in phase space" of the vectors in the orbit. The most important Clifford orbit is formed by the set of stabilizer states. Our main result implies that stabilizer measurements are essentially optimal for distinguishing pure quantum states. As an auxiliary result, we use the methods developed here to prove new entropic uncertainty relations for stabilizer measurements. This paper is based on a very recent analysis of the representation theory of tensor powers of the Clifford group.

研究の動機と目的

• 量子測定が量子状態の区別可能性をどれだけ保っているかを特定すること、特に最悪ケースにおける性能を対象とする。
• 実装可能で量子情報分野で広く用いられるクリフォード群の軌道から構成される測定の性能を分析すること。
• POVMノルム定数を用いて、クリフォード軌道POVMが量子状態の区別可能性をどの程度保っているかを定量化すること。
• 安定化子測定（クリフォード軌道の特殊ケース）が純粋な量子状態を区別する際に本質的に最適であることを確立すること。
• 開発した枠組みを用いて、安定化子測定のための新しいエントロピック不確実性関係を導出すること。

提案手法

• 測定が最悪ケースにおいて状態の区別可能性をどれだけ保っているかを定量化する指標としてPOVMノルム定数を用いる。
• クリフォード群のテンソル積の表現理論を応用し、クリフォード軌道POVMの挙動を分析する。
• 区別可能性の境界を精緻化するために、行列の「有効ランク」の概念を導入し、特に純粋状態に対して有効に活用する。
• ピンスカーベルの不等式を用いて、量子測定における相互情報量の下界（確実性関係）を導出する。
• 状態差のトレースノルムと関連づけて、測定出力のℓ1ノルムの境界を導出し、POVMノルム定数と結びつける。
• 純粋状態の等方的集合を考慮し、準備と測定結果の間の相互情報量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリフォード軌道測定は、特に最悪ケースにおいて、量子状態の区別可能性をどの程度保っているか？
• RQ2 量子状態の有効ランクとクリフォード軌道POVMの区別性能の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 クリフォード軌道に含まれるベクトルの位相空間への局在化は、POVMノルム定数にどのように影響するか？
• RQ4 安定化子測定は、純粋な量子状態を区別する際に最適と見なせるか？その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 クリフォード軌道POVMの分析から、どのような新しいエントロピック不確実性関係を導出できるか？

主な発見

• クリフォード軌道測定のPOVMノルム定数は、状態の有効ランクと位相空間への局在化に依存し、安定化子状態ではほぼ最適な性能を達成する。
• 純粋状態に対して、安定化子測定のPOVMノルム定数は、‖ℳstab(X)‖₁ ≥ (1/2)‖X‖₁ を満たし、一様POVMの最適境界と一致する。
• この境界は、X = ρ − (1/d)𝕀 の有効ランク r_eff(X) ≤ 4 min{r, d−r} を用いて導出され、純粋状態で等号が成立する。
• 新たな確実性関係が確立された：任意の等方的純粋状態集合に対して、I(X:ℳC,z) ≥ (1/(128 log 2))((d−1)/d)² がすべてのクリフォードPOVMに対して成り立つ。
• 同じ境界が測定結果の最小エントロピーに対しても成り立つことが示され、I(X:ℳC,z) ≥ (1/(128 log 2))((d−1)/d)² が得られ、従来の結果を改善する。
• 解析から、純粋状態に対して最小エントロピーの下界が (1/(128 log 2))((d−1)/d)² である新しいエントロピック不確実性関係が導出された。