[論文レビュー] Distortion elements in $Diff^\infty(R/Z)$

Artur Avila|ArXiv.org|Aug 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、繰り返し的（iterated が恒等写像に近づく意味で）滑らかな円周の微分同相写像が、群 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 内の歪み要素であることを証明している。つまり、その反復は有限個の生成元の短い積として表現可能である。主な結果は、Franks と Handel の問いに答え、無理数回転が滑らかさのカテゴリーにおいて歪み要素であることを示しており、交換子構成と回転数理論を用いている。

ABSTRACT

We consider the group of smooth diffeomorphisms of the circle. We show that any recurrent $f$ (in the sense that $\{f^n\}_{n \in Z}$ is not discrete) is in fact a distortion element (in the sense that its iterates can be written as short compositions involving finitely many smooth diffeomorphisms). Thus rotations are distortion elements.

研究の動機と目的

• 無理数回転が $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 内で歪み要素かどうかという Franks と Handel の未解決問題を解くこと。
• $C^\infty$ 位相における再帰性が、群論的意味での歪み性を意味することを確立すること。
• 交換子と compact な台を持つ微分同相写像を用いて、恒等写像に非常に近い要素の短い群語表現を構成すること。
• 高正則性微分同相写像群への歪み理論の拡張、特に無理数回転数を持つ要素について。
• 高次元微分同相写像群へ応用可能な枠組みを提供すること。ただし、体積保存型やシンプレクティック型には適用できない。

提案手法

• 有限生成部分群に定義された距離 $d_S$ を用いて歪みを定義し、$d_S(f^n, \mathrm{id}) = o(n)$ を要求する。
• $\epsilon_n \to 0$ および $k_n \to \infty$ となる列 $\epsilon_n$, $k_n$ を構成し、$d(h_n, \mathrm{id}) < \epsilon_n$ を満たす $h_n$ が $d_S(h_n, \mathrm{id}) \leq k_n$ を満たすようにする。
• 重なり合う区間上で台を持つ微分同相写像の交換子の積として、恒等写像に近い要素を実現し、固定された有限生成集合を用いる。
• Herman-Yoccoz の回転数理論の応用、特にディオファントス回転数に対して $C^\infty$ 同相が存在すること。
• 負の導関数を持つ $C^\infty$ 族 $\gamma_t$ を用いて恒等写像を摂動し、ディオファントス回転数を持つ要素を生成する。
• $t>0$ のとき正の導関数と非自明な回転数を持つ 1 パrameter 族 $h_t = [R_{1/2}f_tR_{1/2}, R_{1/2}g_tR_{1/2}][f_t,g_t]$ の構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無理数回転は $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 内で歪み要素であるか？
• RQ2 任意の再帰的 $C^\infty$ 円周微分同相写像は歪み要素か？
• RQ3 恒等写像に任意に近い要素は、有限生成部分群内で短い交換子積として表現可能か？
• RQ4 無理数回転数を持つ滑らかな円周微分同相写像の歪み関数の成長率はいかほどか？
• RQ5 交換子分解の手法は、高次元多様体へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 任意の再帰的 $f \in \mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ は歪み要素であり、Franks と Handel の問いに滑らかさのカテゴリーで肯定的に解決した。
• $\epsilon_n \to 0$ および $k_n \to \infty$ となる列 $\epsilon_n$, $k_n$ が存在し、任意の $h_n$ で $d(h_n, \mathrm{id}) < \epsilon_n$ を満たすものは、ある有限生成部分群 $G$ とその生成集合 $S$ に対して $d_S(h_n, \mathrm{id}) \leq k_n$ を満たす。
• $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 内の再帰的要素の任意の可算集合は、単一の有限生成部分群内で同時に歪み要素にできる。
• 任意の関数 $r: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ に対して、各再帰的要素を $r$-任意に歪められる。すなわち、ある $m \geq r(n)$ で $d_S(f_i^m, \mathrm{id}) \leq n$ を満たす $n$ が無限に多く存在する。
• この手法は、ディオファントス回転数に対して $C^\infty$ 同相が存在すること（Herman-Yoccoz 理論）と、交換子分解に依存している。
• このアプローチは、実解析的微分同相写像には拡張できない。強い代数的剛性のため、そのカテゴリーでは問題が未解決のまま残っている。