[論文レビュー] Distortion maps for genus two curves

Steven D. Galbraith⋆, Jordi Pujolàs+2 more|ArXiv.org|Nov 15, 2006

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、特異的で genus 2 の超楕円曲線に対して歪み写像が常に存在することを証明し、フロベニウスと自己同型から導かれる自己準同型を用いた明示的構成を提供する。この曲線で埋め込み次数が 4, 5, 6, 12 である場合、有限個の自己準同型（フロベニウスと自己同型を含む）が、任意の r- torsion 個体類のペアに対して歪み写像を生成することを示しており、ペアリングベースの暗号方式の効率的実装を可能にする。

ABSTRACT

Distortion maps are a useful tool for pairing based cryptography. Compared with elliptic curves, the case of hyperelliptic curves of genus g > 1 is more complicated since the full torsion subgroup has rank 2g. In this paper we prove that distortion maps always exist for supersingular curves of genus g>1 and we construct distortion maps in genus 2 (for embedding degrees 4,5,6 and 12).

研究の動機と目的

• ペアリングベースの暗号に不可欠な、特異的で genus 2 の超楕円曲線に対して歪み写像が存在することを確立すること。
• このような曲線上の任意の r- torsion 個体類のペアに対して、効率的に計算可能な明示的自己準同型を構成し、歪み写像として機能させること。
• フロベニウスと自己同型を含む有限個の自己準同型が、妥当な仮定の下で、すべてのペアに対して十分な歪み写像を生成することを証明すること。
• 特異的で genus 2 の曲線における歪み写像問題を解決することで、ペアリングベースの暗号方式を高 genus の曲線へ拡張することを可能にすること。

提案手法

• 著者たちは、有限体上の genus 2 曲線のヤコビアンの自己準同型代数を分析し、埋め込み次数が小さい特異的曲線に焦点を当てる。
• フロベニウス写像 π と自己同型 στ, σθ, σξ を用いて自己準同型の基底を構成し、これらが Q-ベクトル空間として 16 次元であり、End⁰(Jac(C)) に同型であることを示す。
• π, στ, σθ, σξ 間の群論的および代数的関係を用いて、F ⊕ στF ⊕ σξF ⊕ σθF が直和であることを証明し、自己準同型代数の次元が最大であることを確認する。
• 任意の r- torsion 個体類のペアに対して、これらの自己準同型の Q-線形結合による歪み写像が存在することを示し、分母が互いに素であるという仮定の下で、その写像を ℤ[π, στ, σθ] 内の整数的自己準同型にスケーリング可能であることを示す。
• 埋め込み次数が 4, 5, 6, 12 の明示的例を通じて、構成が妥当であることを検証し、自己準同型が自己準同型代数を完全に張っており、必要な非退化性条件を満たしていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的で genus 2 の超楕円曲線のすべての r- torsion 個体類のペアに対して、歪み写像は存在するか？
• RQ2 有限個で効率的に計算可能な自己準同型の集合が、すべてのペアに対して歪み写像として機能できるか？
• RQ3 埋め込み次数が小さい特異的で genus 2 の曲線に対して、自己準同型代数 End⁰(Jac(C)) の構造はいかなるものか？
• RQ4 自己準同型の Q-線形結合が、有効な歪み写像として作用する整数的自己準同型にスケーリング可能となる条件は何か？

主な発見

• 特異的で genus 2 の曲線に対して、歪み写像が常に存在することを確認し、高 genus の曲線におけるペアリングベースの暗号の主要な障害を解消した。
• 研究対象の曲線の自己準同型代数 End⁰(Jac(C)) は ℚ 上 16 次元であり、フロベニウス写像 π と自己同型 στ, σθ, σξ によって生成される。
• 集合 {π, στ, σθ} が、曲線上の任意の r- torsion 個体類のペアに対して十分な自己準同型を生成し、歪み写像として機能することが示された。
• 埋め込み次数が 4, 5, 6, 12 の曲線に対して、これらの自己準同型を用いた歪み写像の明示的構成が提供された。
• Q-線形結合の分母の最小公倍数が r と互いに素であるという仮定の下で、構成は有効であることが示され、検証例においてその仮定が成立していることが確認された。