[論文レビュー] Distributed Approximation Algorithms for the Multiple Knapsack Problem

Ananth Murthy, Chandan Yeshwanth+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n 個のプロセッサ（各プロセッサがナップサックを有する）のネットワークにおいて、容量制約のもとで合計利益を最大化するための分散近似アルゴリズムを提示する。m 個のアイテムを割り当てする多重ナップサック問題（MKP）の文脈で、最も利益の高いアイテムを残容量が最大のナップサックに割り当てる貪欲戦略を用い、最適解の 1/(n+1) 倍の性能保証を達成する。通信量は O(mn)、時間計算量は O(m log n) である。

ABSTRACT

We consider the distributed version of the Multiple Knapsack Problem (MKP), where $m$ items are to be distributed amongst $n$ processors, each with a knapsack. We propose different distributed approximation algorithms with a tradeoff between time and message complexities. The algorithms are based on the greedy approach of assigning the best item to the knapsack with the largest capacity. These algorithms obtain a solution with a bound of $\frac{1}{n+1}$ times the optimum solution, with either $\mathcal{O}\left(m\log n ight)$ time and $\mathcal{O}\left(m n ight)$ messages, or $\mathcal{O}\left(m ight)$ time and $\mathcal{O}\left(mn^{2} ight)$ messages.

研究の動機と目的

• 古典的なNP困難な最適化問題である多重ナップサック問題（MKP）に対する効率的な分散アルゴリズムの欠如に応えること。
• 時間計算量とメッセージ計算量のバランスを保ちながら、保証された近似比を達成する分散アルゴリズムを設計すること。
• データセンターなどの分散システムにおいて、限られた容量を持つマシン（ナップサック）にジョブ（アイテム）を割り当てる実用的なジョブスケジューリングやリソース割り当てを可能にすること。
• 高いメッセージ量や時間計算量のため、分散環境では中央集権的メソッド（線形計画法や動的計画法）が非現実的であることを克服すること。
• 多数のアイテムやプロセッサを含む大規模ネットワークでも効率的にスケーリングできるように、特に O(mn) の低メッセージ計算量を達成すること。

提案手法

• 各アイテムを残容量が最大のナップサックに割り当てる分散貪欲アルゴリズムを提案し、利益/重量比に基づいてアイテムを優先順に処理する。
• アイテムの割り当て状態を管理し、プロセッサ間のメッセージ伝達を調整するための中央集権的ディスpatcher ノード（ソース S）を導入する。
• プロセッサが現在のナップサック容量と利用可能なアイテムをネットワーク全体にブロードキャストする、優先度ベースのメッセージ伝達メカニズムを採用する。
• トーナメント方式の選択を用いて O(log n) ラウンドで各アイテムごとに残容量が最大のナップサックを特定する分散選択プロトコルを実装する。
• 分散環境における非最適な割り当て意思決定による損失を制限することで、最適解の 1/(n+1) 倍の性能保証を維持する。
• 2 種類の変種を分析：1 つ目は O(m log n) 時間と O(mn) メッセージ、2 つ目は O(m) 時間と O(mn²) メッセージで、時間計算量とメッセージ計算量のトレードオフを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低メッセージ計算量と低時間計算量を維持しながら、非自明な近似比を達成できる多重ナップサック問題（MKP）の分散近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 分散 MKP アルゴリズムにおける時間計算量とメッセージ計算量のトレードオフは何か？大規模システムに最適化可能か？
• RQ3 中央集権的LP や DP メソッドに依存せずに、貪欲で分散可能な戦略が定数倍近似（例：1/(n+1)）を達成できるか？
• RQ4 線形整数計画法（ILP）、線形計画法緩和、動的計画法といった従来の中央集権的近似手法が、高いメッセージオーバーヘッドを持つ分散環境ではなぜ非現実的なのか？
• RQ5 分散 MKP において 1/(n+1) の近似境界はタイトか？より複雑な協調メカニズムにより、より良い境界が達成可能か？

主な発見

• 提案された分散貪欲アルゴリズムは、アイテム数 m に依存しない定数倍近似（最適解の 1/(n+1) 倍）を達成する。
• アルゴリズムの1 つの変種は O(m log n) 時間と O(mn) メッセージで実行され、多数のアイテムやプロセッサを含む大規模ネットワークにスケーラブルである。
• 2 番目の変種では時間計算量を O(m) に削減するが、メッセージ計算量は O(mn²) に増加し、時間とメッセージのトレードオフを示している。
• 線形計画法や動的計画法といった高コストな中央集権的手法を回避しており、分散環境では指数的メッセージ量や時間計算量に苦しむ。
• 1/(n+1) の性能境界は、分散環境における遅延や非最適な割り当て意思決定に起因する最悪ケース損失に基づいて導出される。
• 本手法は、データセンターにおけるジョブスケジューリング、無線ネットワークにおけるスケジューリング、検索結果の多様化といった実世界の応用に適している。