[論文レビュー] Distributed Approximation Algorithms for Weighted Shortest Paths

Danupon Nanongkai|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、CONGESTモデル下での重み付き無向ネットワークにおける単一始点最短経路（SSSP）の近似を、Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D) 時間で (1+o(1))-近似する分散アルゴリズムを提示する。本研究では、軽量な有効距離付きSSSPと、ショートカットを用いた最短経路径路長の短縮という2つの新規技術を導入し、近似的に最適な精度で非線形時間で計算を実現した。

ABSTRACT

A distributed network is modeled by a graph having $n$ nodes (processors) and diameter $D$. We study the time complexity of approximating {\em weighted} (undirected) shortest paths on distributed networks with a $O(\log n)$ {\em bandwidth restriction} on edges (the standard synchronous \congest model). The question whether approximation algorithms help speed up the shortest paths (more precisely distance computation) was raised since at least 2004 by Elkin (SIGACT News 2004). The unweighted case of this problem is well-understood while its weighted counterpart is fundamental problem in the area of distributed approximation algorithms and remains widely open. We present new algorithms for computing both single-source shortest paths (\sssp) and all-pairs shortest paths (\apsp) in the weighted case. Our main result is an algorithm for \sssp. Previous results are the classic $O(n)$-time Bellman-Ford algorithm and an $ ilde O(n^{1/2+1/2k}+D)$-time $(8k\lceil \log (k+1) ceil -1)$-approximation algorithm, for any integer $k\geq 1$, which follows from the result of Lenzen and Patt-Shamir (STOC 2013). (Note that Lenzen and Patt-Shamir in fact solve a harder problem, and we use $ ilde O(\cdot)$ to hide the $O(\poly\log n)$ term.) We present an $ ilde O(n^{1/2}D^{1/4}+D)$-time $(1+o(1))$-approximation algorithm for \sssp. This algorithm is {\em sublinear-time} as long as $D$ is sublinear, thus yielding a sublinear-time algorithm with almost optimal solution. When $D$ is small, our running time matches the lower bound of $ ilde Ω(n^{1/2}+D)$ by Das Sarma et al. (SICOMP 2012), which holds even when $D=Θ(\log n)$, up to a $\poly\log n$ factor.

研究の動機と目的

• 分散重み付きネットワークにおける最短経路計算を近似することで高速化できるかどうかという長年の未解決問題に取り組む。
• O(log n)帯域幅を有するCONGESTモデルにおいて、(1+o(1))-近似の非線形時間アルゴリズムをSSSPに設計する。
• 従来の Õ(n¹ᐟ²⁺¹ᐟ²ᵏ + D)-時間アルゴリズムを改善し、ネットワーク径路長Dに依存する近似的に最適な実行時間を得る。
• 結果を全点対最短経路（APSP）に拡張し、Õ(n)-時間の(1+o(1))-近似アルゴリズムを提供する。
• APSP近似における一致する下界を証明することで、分散計算複雑性における重要なギャップを閉じる。

提案手法

• 有効距離付き単一始点最短経路のための軽量アルゴリズムを導入し、通信量を最小限に抑えつつ局所的計算を効率的に行えるようにする。
• ショートカットを用いた最短経路径路長の短縮技術を開発し、オーバーレイネットワークの有効径路長を圧縮する。
• 近似距離を保持しつつ、最短経路径路長が短縮されたオーバーレイネットワークを構築する。
• 再帰的分解と階層的集約を用いて、Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D) 時間で近似距離を計算する。
• ショートカットベースの径路長短縮を活用し、ネットワーク全体で距離推定値の収束を高速化する。
• 同一の技術を完全接続ネットワークに適用し、Õ(√n)-時間で正確なSSSPと(2+o(1))-近似APSPを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似を用いることで、分散重み付きネットワークにおける最短経路計算の時間計算量を著しく削減できるか？
• RQ2 CONGESTモデルにおけるSSSPにおいて、近似比と実行時間の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 ショートカットを用いることで、最短経路径路長を効率的に短縮し、分散計算を高速化できるか？
• RQ4 完全接続ネットワークにおいて、非線形時間で正確なSSSPを達成することは可能か？
• RQ5 分散環境におけるAPSP近似のタイトな下界は何か？

主な発見

• 本稿では、(1+o(1))-近似SSSPを Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D) 時間で実行するアルゴリズムを提示しており、Dが非線形である場合に非線形時間であることを示した。
• 既知の下界 Õ(n¹ᐟ² + D) に対して、多項式対数因子の差異を除いて一致しており、近似的にタイトであることを示した。
• APSPに対しては、Õ(n)-時間の(1+o(1))-近似アルゴリズムを達成し、従来のO(1)-近似結果を改善した。
• APSP近似に対して一致する下界を証明し、アルゴリズムが多項式対数因子の差異を除いて最適であることを示した。
• 完全接続ネットワークでは、Õ(√n)-時間で正確なSSSPアルゴリズムを達成し、(2+o(1))-近似APSPアルゴリズムも提供した。
• 提案されたツール（軽量有効距離付きSSSPとショートカットベース径路長短縮）は、最短経路を超える幅広い応用を可能にした。