[論文レビュー] Distributed coloring of graphs with an optimal number of colors

Étienne Bamas, Louis Esperet|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最大次数Δのグラフをc ≥ Δ − kΔ + 1色で最適に彩色する分散型ランダム化アルゴリズムを提示する。ここでkΔ ≈ √Δ − 2である。このアルゴリズムは、高確率でmin{O((log Δ)^{1/12} log n), 2^{O(log Δ + √log log n)}}ラウンドで動作し、最適な色数とほぼ最適なラウンド複雑性を達成する。LOCALモデルにおける扱いやすさと扱いにくさの境界を明確に分かつ鋭い閾値Δ − kΔ + 1が得られている。

ABSTRACT

This paper studies sufficient conditions to obtain efficient distributed algorithms coloring graphs optimally (i.e.\ with the minimum number of colors) in the LOCAL model of computation. Most of the work on distributed vertex coloring so far has focused on coloring graphs of maximum degree $\Delta$ with at most $\Delta+1$ colors (or $\Delta$ colors when some simple obstructions are forbidden). When $\Delta$ is sufficiently large and $c\ge \Delta-k_\Delta+1$, for some integer $k_\Delta\approx \sqrt{\Delta}-2$, we give a distributed algorithm that given a $c$-colorable graph $G$ of maximum degree $\Delta$, finds a $c$-coloring of $G$ in $\min\{O((\log\Delta)^{1/12}\log n), 2^{O(\log \Delta+\sqrt{\log \log n})}\}$ rounds, with high probability. The lower bound $\Delta-k_\Delta+1$ is best possible in the sense that for infinitely many values of $\Delta$, we prove that when $\chi(G)\le \Delta -k_\Delta$, finding an optimal coloring of $G$ requires $\Omega(n)$ rounds. Our proof is a light adaptation of a remarkable result of Molloy and Reed, who proved that for $\Delta$ large enough, for any $c\ge \Delta - k_\Delta$ deciding whether $\chi(G)\le c$ is in { extsf{P}}, while Embden-Weinert \emph{et al.}\ proved that for $c\le \Delta-k_\Delta-1$, the same problem is { extsf{NP}}-complete. Note that the sequential and distributed thresholds differ by one. We also show that for any sufficiently large $\Delta$, and $\Omega(\log \Delta)\le k \le \Delta/100$, every graph of maximum degree $\Delta$ and clique number at most $\Delta-k$ can be efficiently colored with at most $\Delta-\varepsilon k$ colors, for some absolute constant $\varepsilon >0$, with a randomized algorithm running in $O(\log n/\log \log n)$ rounds with high probability.

研究の動機と目的

• 最大次数Δのグラフに対する効率的な分散彩色が可能となる最適な色数cを、LOCALモデルで特定すること。
• 特に彩色数の閾値Δ − kΔに近い部分における、逐次的と分散的複雑性の閾値のギャップを埋めること。
• c ≥ Δ − kΔ + 1色で、ほぼ最適なラウンド複雑性を達成する分散アルゴリズムを設計すること。
• c ≤ Δ − kΔ − 1の場合、最適彩色にΩ(n/Δ)ラウンドが必要であることを示すタイトな下界を確立すること。

提案手法

• d-密度分解を用いてグラフを密度の高い部分と疎な部分に局所的に分解し、O(log n)ラウンドで計算可能である。
• 分散的にLovász局部定理（LLL）を適用し、c色で部分グラフFを彩色する。LLLの適用をO((log Δ)^{13/12})回行う。
• 従来の研究で見られる逐次的依存を避けるために、c-還元の変更版を用いる。
• グリーディな拡張プロセスにより、部分グラフHからの部分彩色を全グラフGに局所的かつ効率的に拡張する。
• (deg+1)-リスト彩色とLLLアルゴリズムのラウンド複雑性を組み合わせ、合計複雑度としてO(T_{deg+1}(n,Δ)) + O((log Δ)^{13/12}) · T_{LLL}(n, poly Δ)を得る。
• LLL適用における集中度の分析を洗練させ、Δに関して多項式から多対数的まで反復回数を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数Δのグラフに対する最適な分散彩色が、多対数時間内に可能となる最小の色数cは何か？
• RQ2 分散的扱いやすさの閾値は、逐次的閾値と比べてどのように異なるのか？なぜ1色の差が生じるのか？
• RQ3 c-リダクションが存在する状況でも、最適彩色の分散アルゴリズムを逐次的依存なしに効率的に実装できるか？
• RQ4 c ≤ Δ − kΔ − 1の場合の最適彩色のラウンド複雑性下界は何か？上界と比べてどうか？

主な発見

• アルゴリズムは、高確率でc ≥ Δ − kΔ + 1の場合、min{O((log Δ)^{1/12} log n), 2^{O(log Δ + √log log n)}}ラウンドで最適なc彩色を達成する。
• 閾値Δ − kΔ + 1は鋭い：c ≤ Δ − kΔ − 1の場合、任意の分散アルゴリズムはΩ(n/Δ)ラウンドを要し、扱いにくさが証明される。
• 無限に多くのΔの値に対して、c = Δ − kΔの場合、最適彩色にΩ(n)ラウンドを要するグラフが存在し、閾値のタイトさが確認される。
• c ≥ Δ − kΔ + 1という条件を活用することで、逐次的c-還元ステップを回避し、完全に局所的かつ効率的な計算が可能になる。
• ラウンド複雑度はLLLと(degree+1)-リスト彩色のコンポーネントに支配され、洗練された集中度分析によりLLLの適用がO((log Δ)^{13/12})ラウンドまで削減される。
• 有界次数の場合（Δが定数の場合）、高度なLLL技術を用いて、任意のi ≤ log*n − 2 log*log*nに対して、exp^{(i)}(O(√log^{(i+1)} n))まで複雑度をさらに改善できる。