[論文レビュー] Distributed inner product estimation with limited quantum communication

Srinivasan Arunachalam, Louis Schatzki|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2024

Quantum Information and Cryptography被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、限られた量子通信の下で分散型量子内積推定のサンプル複雑度に対してタイトな境界を確立する。アリスとボブがnキュービット状態のkコピーを共有し、qキュービットの量子通信を行う場合、|⟨ψ|φ⟩|²を定数精度で推定するにはk = Θ(√(2ⁿ⁻⁹))が必須かつ十分である。一般のエルミート演算子Mに対しては、サンプル複雑度が∥Mε∥₂/εと1/ε²に依存し、Mの高マグニチュード固有値部分空間に低ランク構造がある場合、推定が著しく容易になることが明らかになった。

ABSTRACT

In this work, we consider the fundamental task of distributed inner product estimation when allowed limited communication. Suppose Alice and Bob are given k copies of an unknown n-qubit quantum state |ψ⟩,|ϕ⟩ respectively, are allowed to send q qubits to one another, and the task is to estimate |⟨ψ|ϕ⟩|² up to constant additive error. We show that k = Θ(√{2^{n-q}}) copies are essentially necessary and sufficient for this task (extending the work of Anshu, Landau and Liu (STOC'22) who considered the case when q = 0). Additionally, we also consider the task when the goal of the players is to estimate |⟨ψ|M|ϕ⟩|², for arbitrary Hermitian M. For this task we show that certain norms on M determine the sample complexity of estimating |⟨ψ|M|ϕ⟩|² when using only classical communication.

研究の動機と目的

• 未知のnキュービット状態|ψ⟩と|φ⟩の最小コピー数kを特定すること。アリスとボブがqキュービットの量子通信に制限された状況で、|⟨ψ|φ⟩|²を定数精度で推定できるようにする。
• 内積推定タスクを任意のエルミート演算子Mに一般化し、局所操作と古典的通信（LOCC）の下で|⟨ψ|M|φ⟩|²を推定するサンプル複雑度を同定すること。
• 分散型量子状態検証および性質推定における、量子通信コストとサンプル複雑度のトレードオフに関する未解決の問題を解消すること。
• スペクトルノルム∥Mε∥₂（|λ| ≥ ε/2の固有値に制限されたMの部分）に依存する、サンプル複雑度の近似的最適な上界と下界を確立すること。

提案手法

• LOCCとqキュービットの量子通信を組み合わせた新規インタラクティブプロトコルを用い、限られた量子メッセージ交換で修正されたスワップテストにより|⟨ψ|φ⟩|²を推定する。
• リーヴィの補題と単位球面上の濃縮法を用い、ハードな識別問題への還元により、サンプル複雑度の下界を導出する。
• ハール一様乱数状態と位相角を含む構造化されたYES/NOインスタンス問題を導入し、LOCC下での内積推定タスクをシミュレートする。
• 状態の重なりや位相差の摂動に対する推定子の挙動を解析し、トレース関数のリプシッツ連続性を活用する。
• Mを|λ| ≥ ε/2の固有値部分空間に分解し、スペクトルノルム∥Mε∥₂に注目することで、タイトな境界を導出する。
• 上界と下界を統合し、ε-近似推定においてサンプル複雑度がΩ(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/√ε})かつO(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/ε})であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アリスとボブが状態をトランスポートするのに十分な量子通信qキュービットしか持てない場合、|⟨ψ|φ⟩|²を推定するための最適なサンプル複雑度は何か？
• RQ2 Mが恒等演算子ではなく任意のエルミート演算子である場合、LOCC下での|⟨ψ|M|φ⟩|²の推定におけるサンプル複雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ3 Mの高マグニチュード固有値部分空間に低ランク構造がある場合、サンプル複雑度は著しく低減可能か？
• RQ4 LOCC下での|⟨ψ|M|φ⟩|²の推定の難易度を決定づける要因として、スペクトルノルム∥Mε∥₂は果たすどのような役割を果たすか？
• RQ5 分散型量子状態比較において、量子通信コストとサンプル複雑度の間には滑らかなトレードオフが存在するか？

主な発見

• qキュービットの量子通信が許可される場合、|⟨ψ|φ⟩|²の定数精度推定におけるサンプル複雑度はΘ(√(2ⁿ⁻⁹))であり、q=0からq=nの間で滑らかな補間が実現される。
• q = 0（古典的通信のみ）の場合、サンプル複雑度はΘ(√(2ⁿ))であり、Anshuら（2022）の結果を確認する。
• 一般のエルミートMに対しては、LOCC下でのε-近似推定においてサンプル複雑度がO(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/ε})であることが示され、これは近似的に最適である。
• 下界はΩ(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/√ε})であり、複雑度が|λ| ≥ ε/2の固有値に制限されたMのスペクトルノルムに強く依存することが示された。
• Mの高マグニチュード固有値部分空間に低ランク構造がある場合、完全なトモグラフィーと比べて推定が指数的に容易になることが示唆される。
• 本論文は、分散型量子状態検証および性質推定における、量子通信とサンプル複雑度のトレードオフに関する未解決問題を解決した。