[論文レビュー] Distributed Minimum Vertex Coloring and Maximum Independent Set in Chordal Graphs

Christian Konrad, Viktor Zamaraev|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、木分解に基づくアプローチを用いて、弦的グラフにおける最小頂点彩色問題（MVC）および最大独立集合問題（MIS）の決定的分散(1+ϵ)-近似アルゴリズムを提示する。繰り返し区間部分グラフを剥がし、層ごとに衝突を解消するか、独立集合を計算することで、彩色にはO(1/ϵ log n)ラウンド、独立集合にはO(1/ϵ log(1/ϵ) log∗n)ラウンドを達成し、ラウンド複雑性のタイトな下界により、近似的に最適性が示された。

ABSTRACT

We give deterministic distributed (1+epsilon)-approximation algorithms for Minimum Vertex Coloring and Maximum Independent Set on chordal graphs in the LOCAL model. Our coloring algorithm runs in O( (1 / epsilon) log n) rounds, and our independent set algorithm has a runtime of O( (1/epsilon) log(1/epsilon)log^* n) rounds. For coloring, existing lower bounds imply that the dependencies on 1/epsilon and log n are best possible. For independent set, we prove that Omega(1/epsilon) rounds are necessary. Both our algorithms make use of the tree decomposition of the input chordal graph. They iteratively peel off interval subgraphs, which are identified via the tree decomposition of the input graph, thereby partitioning the vertex set into O(log n) layers. For coloring, each interval graph is colored independently, which results in various coloring conflicts between the layers. These conflicts are then resolved in a separate phase, using the particular structure of our partitioning. For independent set, only the first O(log (1/epsilon)) layers are required as they already contain a large enough independent set. We develop a (1+epsilon)-approximation maximum independent set algorithm for interval graphs, which we then apply to those layers. This work raises the question as to how useful tree decompositions are for distributed computing.

研究の動機と目的

• 弦的グラフにおける最小頂点彩色問題（MVC）および最大独立集合問題（MIS）の効率的で決定的な分散アルゴリズムの設計。
• 特に木分解を特徴とする弦的グラフの構造的性質を活用し、分散環境においてグローバルな協調を可能にする。
• LOCALモデルにおいて、MVCおよびMISの両方を(1+ϵ)-近似で達成し、ラウンド複雑度をほぼ最適化する。
• MISのラウンド複雑度に対してタイトな下界を確立し、Ω(1/ϵ)ラウンドが必要であることを示す。

提案手法

• 入力の弦的グラフの木分解を用いて、区間部分グラフを特定し、繰り返し剥がしていく。
• 頂点彩色の場合は、各区間グラフを独立に彩色し、分割の構造的性質を用いて層間の衝突を解消する。
• 独立集合の場合は、最初のO(log 1/ϵ)層のみを処理する。なぜなら、それらの層には既に(1+ϵ)-近似解が含まれるからである。
• 区間グラフにおける(1+ϵ)-近似MISアルゴリズムを新たに開発し、剥がした層に適用する。
• 分散実装では、クリークフォレストの局所的視認を用い、区間グラフの連結成分上で独立集合を並列に計算する。
• 実行時間の上限は、成分の直径および独立数の分析により導出され、小径成分はO(d)ラウンドで処理され、大径成分はアルゴリズム5によりO(1/ϵ log∗n)ラウンドで処理される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弦的グラフにおけるMVCおよびMISの(1+ϵ)-近似アルゴリズムを、分散LOCALモデルで設計可能か？
• RQ2 木分解をどのように活用すれば、弦的グラフにおける効率的な分散計算を可能にするか？
• RQ3 弦的グラフにおける分散(1+ϵ)-近似MISの最適なラウンド複雑度は何か？
• RQ4 提案手法をk-弦的グラフ（より長い誘導サイクルをもつグラフ）といったより広いグラフクラスへ拡張可能か？

主な発見

• 分散MVCアルゴリズムはO(1/ϵ log n)ラウンドで実行され、既存の下界により、1/ϵおよびlog nに依存する最良の依存関係を達成している。
• 分散MISアルゴリズムはO(1/ϵ log(1/ϵ) log∗n)ラウンドで実行され、対数要因を除いて最適である。
• 任意のランダム化(1+ϵ)-近似アルゴリズムが、パスでさえも、MISのラウンド複雑度にΩ(1/ϵ)ラウンドが必要であることを示した下界を確立した。
• アルゴリズムは、木分解から導かれる区間部分グラフに対する新規な剥離プロセスに依存しており、局所的視認から一貫したグローバルな協調を可能にする。
• 木分解が弦的グラフにおける分散計算に極めて効果的であることが示され、効率的な近似アルゴリズムの実現を可能にする。
• 今後の研究として、より長い誘導サイクルをもつk-弦的グラフへの手法の拡張が有望であると示唆された。